Medidas de Tendencia Central y Dispersión: Media y Desviación Típica

Medidas de Tendencia Central y Dispersión

La Media

• Propiedades: La suma de las desviaciones de un conjunto de observaciones respecto a su media es igual a cero.
• El valor de la media puede verse muy afectado por unas pocas observaciones con valores muy diferentes de los demás. Un solo valor atípico (outlier) “arrastra” la media hacia arriba.
• El valor de la media puede no ser representativo del conjunto de los valores, especialmente en poblaciones o muestras pequeñas, cuando una observación es muy diferente de las otras.
• En general, cuando el gráfico que representa la distribución de valores no es simétrico, sino sesgado, la media está desviada, en relación con la mayoría de los valores, hacia la cola más larga de la distribución.
• Cuanto más sesgada es la distribución, menos representativa es la media.
• Cola hacia la derecha (gráfica): media mayor que la mayoría de los valores.
• Cola hacia la izquierda (gráfica): media menor que la mayoría de los valores.

Media Ponderada

Si tenemos dos poblaciones o muestras de tamaños n₁ y n₂, y tenemos el valor medio de una variable en ambas poblaciones (x̄₁ y x̄₂), podemos calcular la media ponderada. Lo mismo se aplica si, en lugar de 2 poblaciones o muestras, tenemos muchas más.

La Desviación Típica

• Diferencia: Dispersión respecto a la media.
• Consecuencia: Junto a la media (posición), es necesario otro valor que exprese la dispersión.

Desviación Típica, Poblaciones y Muestras

Por razones técnicas (matemáticas), cuando se calcula la desviación típica y la varianza de una muestra, en lugar de la de una población, el denominador es (N-1) en lugar de N.

La Desviación Típica: Interpretación

• Mide la dispersión: cuanto más grande, mayor dispersión.
• Su significado no es intuitivo. Es algo así como la “media de las desviaciones respecto a la media”.
• Unidades: las mismas en las que se exprese la variable (euros, metros, puntos en un examen...).
• ¿Es grande o pequeña? Depende de lo que sepamos de la variable misma.

La Desviación Típica: Propiedades

• Siempre tiene un valor positivo.
• Solo tiene valor 0 si todas las observaciones tienen el mismo valor.
• Como la media, es muy afectada por valores atípicos.

La Desviación Típica: Regla de Chebychev

Para cualquier conjunto de datos, la proporción de observaciones que distan menos de m desviaciones típicas de la media es como mínimo: 1 - 1/m². m puede ser un número no entero (1,5; 2,3).

Regla Empírica

Cuando el histograma de los datos tiene aproximadamente la forma de una campana:

• Aproximadamente el 68% de los datos caen entre: x̄ ± S_x
• Aproximadamente el 95% de los datos caen entre: x̄ ± 2S_x
• Todos o casi todos los datos caen entre x̄ ± 3S_x

Se llama “regla empírica” porque es derivada de la observación de lo que “suele suceder” en la práctica. Por eso está formulada en términos de “aproximadamente”. Solo sirve para datos con distribuciones más o menos de campana. Para otros datos, con distribuciones sesgadas, no funciona.