Modelos ARIMA: Conceptos y Aplicaciones

Modelos ARIMA

Conceptos Clave

Estacionariedad

Una serie de tiempo es estacionaria si su media y su varianza son constantes en el tiempo, y si el valor de la covarianza entre periodos no depende del tiempo en el cual se calculó (son invariantes en el tiempo). Los modelos MA(q) son estacionarios por construcción, ya que son un proceso construido en base a la suma ponderada de procesos de ruido blanco. Para los modelos AR(p), las condiciones de estacionariedad son distintas. Es ventajoso trabajar con series estacionarias debido a que se puede generalizar y estudiar otros periodos fuera de la muestra.

Si la varianza es indeterminada, la serie es no estacionaria, por lo que se necesita del proceso random walk para que los momentos puedan ser calculados. Se puede determinar la estacionariedad con el test Dickey-Fuller e integrar la serie para ver cuántas veces es necesario (d), pasando de un ARMA a un ARIMA.

Ruido Blanco

Un proceso es de ruido blanco cuando posee una media igual a cero, una covarianza constante igual a sigma cuadrado y no está serialmente correlacionado (cov(ut,us)=0). Es decir, Ut está independiente e idénticamente distribuido como una normal.

Camino Aleatorio (Random Walk)

El camino aleatorio afirma que la secuencia de cambios en una serie de tiempo se comporta como una variable aleatoria independiente e idénticamente distribuida, lo que supone que estas variaciones son impredecibles. Asumiendo valores iniciales dados y ruido blanco, se puede calcular el desfase para luego ser llevado a comprobación de estacionariedad.

Modelos

Modelo AR(p)

El modelo AR (YT=ALFA YT-1+Ut) modela la dependencia entre los valores consecutivos de las observaciones. No se incluye el intercepto (la serie está centrada), solo depende de un valor del pasado y el error es ruido blanco.

• FAC: Muestra la relación entre la distancia entre observaciones y la correlación entre ellas (Var K/Var0).
• FACP: Muestra la correlación entre observaciones separadas K periodos y mantiene constante las correlaciones en los rezagos intermedios (rezagos menores que k).

Modelo MA(q)

El modelo MA (Yt=Ut+ TETA Ut-1) se utiliza para describir el comportamiento de una serie, indicando que el valor de la serie en t depende de la realización del error en t y sus valores pasados.

Modelo ARMA(p,q)

El modelo ARMA combina las características de los modelos AR(p) y MA(q).

Modelo Box-Jenkins

El modelo Box-Jenkins busca determinar los valores que mejor se ajustan a los modelos AR, MA o ARMA. La identificación del valor d se realiza usando el test Dickey-Fuller, y luego los valores p y q usando FAC y FACP. Se estima utilizando Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) y luego se diagnostica mediante los errores estimados si se comportan como ruido blanco. Finalmente, se proyecta.

Criterios de Identificación (FAC y FACP)

• AR(p):
  • AC cae exponencialmente o con patrón sinusoidal.
  • PAC cae fuerte después del rezago p.
• MA(q):
  • AC cae fuerte después del rezago q.
  • PAC cae exponencialmente o con patrón sinusoidal.
• ARMA(p,q):
  • Ambas (AC y PAC) caen exponencialmente o con patrón sinusoidal.

Test Dickey-Fuller

1. Ver coeficiente estimado.
2. Valor p (cerca de cero o no).
3. Intervalo de confianza: contiene el cero o no. (Si contiene el cero, se rechaza la hipótesis nula y la serie no es estacionaria).
4. Estadístico asociado: comparar con el valor crítico al 0.05 (si es mayor, se rechaza la hipótesis nula y la serie no es estacionaria).

Integración (I(d))

I(0)

1. Fluctúan en torno a la media y la varianza es finita y no depende del tiempo.
2. Los shocks temporales tienen efectos temporales.
3. La función de correlación decae rápidamente (memoria limitada).

I(1)

1. No fluctúan en torno a la media, ni a ningún valor (sin patrón).
2. Los shocks temporales afectan permanentemente la serie.
3. La función de correlación decae lentamente.