Número Áureo, Grafos, Camino Crítico y Cónicas: Conceptos Matemáticos

El Número Áureo

El número áureo, representado comúnmente por la letra griega Φ (fi), es un número irracional con un valor aproximado de 1.618. Se encuentra en la naturaleza, obras arquitectónicas, arte y se ha considerado como la "razón áurea" ya que encierra belleza y armonía.

Una forma de construirlo geométricamente es a partir de un cuadrado de lado 7 cm (por ejemplo). Se divide el cuadrado a la mitad, obteniendo dos rectángulos. Se traza la diagonal de uno de estos rectángulos. Luego, a partir del punto medio de la base (7/2), se mide con un compás la longitud de la diagonal y se continúa el trazo hasta la recta horizontal que coincide con la base del cuadrado. La altura del rectángulo áureo resultante está dada por la altura del cuadrado original.

Grafos

Digrafos

Un digrafo es la dupla (V, A) formada por un conjunto no vacío de vértices (V) y un conjunto no vacío de arcos (A). Son grafos dirigidos porque cada arco tiene un vértice de entrada y un vértice de salida. Por ejemplo, en un arco, el vértice de entrada puede ser "a" y el de salida "b".

Grafo Euleriano

Un grafo euleriano es aquel en el que todas sus aristas pueden recorrerse en un solo trazo sin pasar dos veces por ninguna de ellas. Pueden tener como máximo dos vértices a los que concurra un número impar de aristas.

Representación de Problemas con Grafos

Los grafos permiten representar un problema concreto mediante un esquema gráfico utilizando puntos (vértices) y líneas (aristas) para luego estudiar las soluciones al problema planteado. En estos esquemas, lo que importa son las relaciones y vínculos entre los vértices, no la forma de las líneas.

Llamaremos grafo G a la dupla (V, A), donde V es el conjunto no vacío cuyos elementos llamaremos vértices y A es un conjunto finito cuyos elementos llamaremos aristas.

Camino Crítico

El método del camino crítico es una técnica para el planeamiento, programación y control de proyectos. Se basa en un diagrama de flechas, nodos numerados y una estimación del tiempo que demanda cada tarea. El objetivo es determinar el menor tiempo posible para realizar el proyecto. Este tiempo está dado por la duración del camino de mayor longitud que existe entre la tarea inicial y la final.

Recta en el Plano

Una recta en el plano se representa mediante una ecuación lineal o de primer grado con dos variables. La representación gráfica del lugar geométrico cuya ecuación sea de primer grado en dos variables es una recta.

• Ecuación punto-pendiente: y - y₁ = m(x - x₁)
• Ecuación dados dos puntos: (y - y₁) / (x - x₁) = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)
• Ecuación explícita: y = mx + b
• Ecuación segmentaria: x/a + y/b = 1
• Ecuación implícita: ax + by + c = 0

Cónicas

Una cónica es el lugar geométrico de los puntos cuya relación de distancias a un punto fijo (foco) y a una recta fija (directriz) es constante. Esta constante se denomina excentricidad (e).

Parábola (e = 1)

Conjunto de todos los puntos del plano que son equidistantes de una recta fija llamada directriz y de un punto fijo llamado foco.

Elipse (e < 1)

Lugar geométrico de todos los puntos del plano que se mueven de manera que la suma de las distancias desde un punto hasta los focos es constante e igual a 2a (eje mayor).

Circunferencia

Lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia constante se denomina radio.

Hipérbola (e > 1)

Lugar geométrico de todos los puntos del plano tales que la diferencia de las distancias desde un punto de la curva hacia los focos es siempre constante.

Fórmulas de las Cónicas

• Elipse:
  • Ecuación canónica: x²/a² + y²/b² = 1
  • Excentricidad: e = c/a, donde c = √(a² - b²)
  • Directriz: D_x = ± a/e
  • Lado recto (LR): 2b²/a
  • Focos: (±c, 0)
• Circunferencia:
  • Ecuación canónica: x² + y² = r²
  • Centro trasladado: (x - h)² + (y - k)² = r² (el centro se traslada a (h, k))
• Hipérbola:
  • Excentricidad (e > 1): e = √(a² + b²)/a
  • c = √(a² + b²)
  • Focos: (±c, 0)
  • Directriz: ± a/e
  • Lado recto (LR): 2b²/a
  • Asíntotas: y = ± (b/a)x