Números Racionales (Q): Operaciones, Propiedades y Expresiones Decimales

Conjunto de los Números Racionales (Q)

Fracciones

Una fracción es una expresión de la forma a/b, donde 'a' y 'b' son números enteros y b ≠ 0. 'a' se llama numerador y 'b' denominador.

• Fracción propia: El numerador es menor que el denominador.
• Fracción impropia: El numerador es mayor o igual que el denominador.

Transformación de un Número Mixto a Fracción Impropia

Se multiplica el entero por el denominador y se suma el numerador. El resultado se convierte en el nuevo numerador, manteniendo el mismo denominador.

Transformación de una Fracción Impropia a Número Mixto

Se divide el numerador entre el denominador. El cociente es el entero, el residuo es el nuevo numerador y se mantiene el denominador.

Amplificación y Simplificación de Fracciones

• Amplificación: Se multiplican el numerador y el denominador por el mismo número (distinto de cero).
• Simplificación: Se divide el numerador y el denominador entre el mismo número (divisor común).
• Fracción irreducible: Fracción que no se puede simplificar más (numerador y denominador son primos entre sí).

El conjunto de los números racionales (Q) está formado por todas las fracciones irreducibles.

Operaciones en Q

Adición y Sustracción en Q

Propiedades de la adición en Q:

• Conmutativa: a/b + c/d = c/d + a/b
• Asociativa: (a/b + c/d) + e/f = a/b + (c/d + e/f)
• Elemento neutro (0): a/b + 0 = a/b
• Elemento simétrico (opuesto): a/b + (-a/b) = 0

Propiedades de la sustracción en Q:

La resta en Q cumple con la propiedad del elemento neutro y simétrico, pero no con la conmutativa ni la asociativa.

Multiplicación en Q

Se multiplican numeradores y denominadores entre sí: (a/b) * (c/d) = (a*c) / (b*d)

Propiedades de la multiplicación en Q:

• Conmutativa
• Asociativa
• Elemento neutro (1)
• Elemento simétrico (inverso, para a/b ≠ 0 es b/a)

División en Q

Se puede efectuar de dos formas:

• "Productos cruzados": (a/b) / (c/d) = (a*d) / (b*c)
• "Doble C": (a/b) / (c/d) = (a*d) / (b*c)

Potenciación en Q

(a/b)ⁿ = aⁿ / bⁿ

Propiedades de la potenciación:

• Exponente 0: (a/b)⁰ = 1 (si a/b ≠ 0)
• Exponente 1: (a/b)¹ = a/b
• Multiplicación de potencias de igual base: (a/b)^m * (a/b)ⁿ = (a/b)^m+n
• División de potencias de igual base: (a/b)^m / (a/b)ⁿ = (a/b)^m-n (si a/b ≠ 0)
• Potencia de una potencia: [(a/b)^m]ⁿ = (a/b)^m*n
• Potencia de una multiplicación: (a/b * c/d)ⁿ = (a/b)ⁿ * (c/d)ⁿ
• Potencia de una división: (a/b / c/d)ⁿ = (a/b)ⁿ / (c/d)ⁿ
• Potencia con exponente negativo: (a/b)^-n = (b/a)ⁿ

Expresiones Decimales

La expresión decimal de una fracción se obtiene dividiendo el numerador por el denominador.

Partes de una expresión decimal:

• Parte entera
• Parte decimal

Tipos de Expresiones Decimales

• Limitada (exacta): La división resulta exacta.
• Ilimitada (inexacta): La división resulta inexacta.
• Periódicas: La parte decimal incluye un número de cifras que se repite sucesivamente (período). Se dividen en:
  • Puras: El período comienza inmediatamente después de la coma.
  • Mixtas: Hay cifras decimales entre la coma y el período (anteperíodo).
• No periódicas: La parte decimal tiene infinitas cifras sin período.

Fracción Generatriz

Toda expresión decimal (limitada, periódica o no periódica) proviene de una fracción llamada fracción generatriz.

• Fracción generatriz de una expresión decimal limitada: Se escribe el número sin la coma como numerador, y como denominador un 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga el número.
• Fracción generatriz de una expresión decimal periódica pura:
  • Numerador: Se escribe el período.
  • Denominador: Se escribe un número con tantos nueves como cifras tenga el período.
• Fracción generatriz de una expresión decimal periódica mixta:
  • Numerador: Se escribe la parte no periódica seguida del período, menos la parte no periódica.
  • Denominador: Se escribe un número con tantos nueves como cifras tenga el período, seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo.

  La fracción obtenida se simplifica cuando sea posible.