Optimización Geométrica: Rectas, Rectángulos, Triángulos y Alambres
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Problema 1: Recta y Triángulo de Área Mínima
Enunciado: De todas las rectas del plano que pasan por el punto (1, 2), encontrar aquella que forma con las partes positivas de los ejes coordenados un triángulo de área mínima. Hallar el área de dicho triángulo.
Resolución:
Este es un problema de optimización. La ecuación de una recta en forma explícita es y = mx + n. Dado que la recta corta las partes positivas de los ejes, su pendiente m debe ser negativa. Como la recta pasa por el punto C(1,2), tenemos 2 = m + n, de donde n = 2 - m. La ecuación de la recta es entonces y = mx + (2 - m).
El punto de corte de la recta con el eje X (punto B) se obtiene haciendo y = 0, lo que da mx = m - 2, y por lo tanto x = (m - 2)/m. Las coordenadas de B son ((m - 2)/m, 0).
El punto de corte con el eje Y (punto A) se obtiene haciendo x = 0, lo que da y = 2 - m. Las coordenadas de A son (0, 2 - m).
El triángulo formado es rectángulo, por lo que su área es (1/2) * base * altura, es decir:
Área = A(m) = (1/2)[(m - 2)/m](2 - m)
La función a optimizar es A(m). Calculamos su primera derivada, la igualamos a cero, tomamos valores negativos de m (ya que la recta corta los ejes en la parte positiva) y comprobamos que es un mínimo verificando que la segunda derivada sea positiva para dicho valor.
De A'(m) = 0, obtenemos -2m2 + 8 = 0, de donde m2 = 4, y m = ± 2. La solución negativa es m = -2.
Comprobamos que es un mínimo viendo que A''(-2) > 0. Por lo tanto, m = -2 es un mínimo, y el área pedida es A(-2) = (-16)/(-4) = 4 unidades cuadradas.
Problema 2: Rectángulo de Perímetro Fijo y Diagonal Mínima
Enunciado: De entre todos los rectángulos de perímetro 8 cm, determinar las dimensiones del que tiene diagonal de menor longitud.
Resolución:
Este es un problema de optimización. La función a optimizar es la longitud de la diagonal, d = √(x2 + y2). La relación entre los lados es 2x + 2y = 8, de donde x + y = 4, y despejando y = 4 - x.
Nuestra función es d(x) = √(x2 + (4 - x)2). Para simplificar, podemos optimizar el cuadrado de la distancia, d(x)2 = x2 + (4 - x)2.
Derivamos e igualamos a cero: d'(x) = 2x - 2(4 - x)(-1) = 4x - 8 = 0. De aquí obtenemos x = 2. La segunda derivada es d''(x) = 4 > 0, lo que confirma que x = 2 es un mínimo.
Las dimensiones del rectángulo son x = 2 e y = 4 - 2 = 2, es decir, es un cuadrado de lado 2.
Problema 3: Alambre, Rectángulo y Cuadrado
Enunciado: Un alambre de longitud 2 metros se divide en dos trozos. Con el primero se forma un rectángulo cuya base es el doble de su altura y con el segundo trozo se forma un cuadrado. Calcula las longitudes de dichos trozos para que la suma de las áreas del rectángulo y el cuadrado resultantes sea mínima.
Resolución:
La función a optimizar es el área total: Área = área rectángulo + área cuadrado = 2a2 + b2.
Relaciones: perímetro del rectángulo: 6a = x → a = x/6; perímetro del cuadrado: 4b = 2 - x → b = (2 - x)/4.
La función a minimizar es A(x) = 2(x2/36) + ((2 - x)2/16).
Derivamos e igualamos a cero: A'(x) = 4x/36 - 2(-1)(2 - x)/16 = x/9 - (2 - x)/8 = 0. De aquí obtenemos 8x = 18 - 9x, lo que da x = 18/17 metros.
La segunda derivada es A''(x) = 4/36 + 2/16 > 0, lo que confirma que es un mínimo. Las longitudes pedidas son x = 18/17 m y 2 - x = 2 - 18/17 = 16/17 m.
Problema 4: Triángulo Rectángulo de Hipotenusa Fija y Área Máxima
Enunciado: De entre todos los triángulos rectángulos de hipotenusa 10 unidades, determinar las dimensiones del de área máxima.
Resolución:
La relación entre los lados es y2 + x2 = 102, de donde y = √(100 - x2). La función a maximizar es el área A(x) = (1/2)x√(100 - x2).
Derivamos e igualamos a cero: A'(x) = 0. De aquí obtenemos 50 - x2 = 0, lo que da x = √50, ya que es una longitud. Las dimensiones del triángulo son x = √50 e y = √(100 - 50) = √50, por lo que es un triángulo isósceles.