Optimización de Ingresos y Beneficios: Análisis de Estrategias de Precios y Producción

CT = 2x² + 60x + 1850

Dx = p = 960 − 48x

a. Maximización del Ingreso Total

1. Función de Ingreso Total:

   IT(x) = p ⋅ x = (960 − 48x) ⋅ x = 960x − 48x²

2. Ingreso Marginal:

   IMg(x) = d(IT)/dx = 960 − 96x

3. Maximización del Ingreso Total (IMg = 0):

   960 − 96x = 0 ⟹ x = 10

4. Precio Correspondiente:

   p = 960 − 48x = 960 − 48(10) = 480

5. Ingreso Total Máximo:

   IT(10) = 960(10) − 48(10²) = 9600 − 4800 = 4800

6. Costo Total Correspondiente:

   CT(10) = 2(10²) + 60(10) + 1850 = 200 + 600 + 1850 = 2650

7. Ganancia:

   B = IT − CT = 4800 − 2650 = 2150

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b. Maximización del Beneficio

1. Condición IMg = CMg:

   Derivada del costo total:

   CMg(x) = d(CT)/dx = 4x + 60

   Igualamos:

   960 − 96x = 4x + 60 ⟹ 960 − 60 = 100x ⟹ x = 9

2. Precio Correspondiente:

   p = 960 − 48x = 960 − 48(9) = 528

3. Ingreso Total:

   IT(9) = 960(9) − 48(9²) = 8640 − 3888 = 4752

4. Costo Total:

   CT(9) = 2(9²) + 60(9) + 1850 = 162 + 540 + 1850 = 2552

5. Beneficio:

   B = IT − CT = 4752 − 2552 = 2200

6. Índice de Lerner:

   L = (p − CMg) / p = (528 − (4(9) + 60)) / 528 = (528 − 96) / 528 = 0.81818

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c. Discriminación de Precios (tres lotes iguales)

1. Precios de los Lotes:

   • Lote 1: x₁ = 3, p₁ = 960 − 48(3) = 816
   • Lote 2: x₂ = 3, p₂ = 960 − 48(6) = 672
   • Lote 3: x₃ = 3, p₃ = 960 − 48(9) = 528

2. Ingresos por Lote:

   IT₁ = 816(3) = 2448, IT₂ = 672(3) = 2016, IT₃ = 528(3) = 1584

3. Ingreso Total:

   IT = IT₁ + IT₂ + IT₃ = 2448 + 2016 + 1584 = 6048

4. Beneficio:

   • El costo total no cambia para x = 9: CT(9) = 2552

   B = IT − CT = 6048 − 2552 = 3496

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d. Venta de un Cuarto Lote

1. Precio del Cuarto Lote:

   p₄ = 960 − 48(12) = 384

2. Ingreso Total Acumulado:

   IT₄ = IT + p₄(3) = 6048 + 384(3) = 6048 + 1152 = 7200

3. Costo Total para x = 12:

   CT(12) = 2(12²) + 60(12) + 1850 = 288 + 720 + 1850 = 2858

4. Ganancia:

   B = IT − CT = 7200 − 2858 = 4342

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Resumen Final:

• a) x = 10, p = 480, B = 2150
• b) x = 9, p = 528, B = 2200, L = 0.81818
• c) Precios: p₁ = 816, p₂ = 672, p₃ = 528, B = 3496, IT = 6048
• d) p₄ = 384, IT = 7200, CT = 2858, B = 4342