Procesos Estocásticos: Tipos, Propiedades y Criterios de Selección de Modelos

Procesos Estocásticos: Conceptos Clave y Modelos Autorregresivos (AR) y de Medias Móviles (MA)

Procesos Estocásticos Estacionarios en Sentido Débil

Un proceso estocástico se considera estacionario en sentido débil si cumple con las siguientes condiciones:

• Las esperanzas matemáticas de las variables aleatorias no dependen del tiempo, son constantes: E[Y_t] = E[Y_t+m] para todo m.
• Las varianzas tampoco dependen del tiempo y son finitas: Var[Y_t] = Var[Y_t+m] < ∞ para todo m.
• Las covarianzas entre dos variables aleatorias del proceso correspondientes a períodos distintos de tiempo (distintos valores de t) solamente dependen del lapso de tiempo transcurrido entre ellas: Cov(Y_t, Y_s) = Cov(Y_t+m, Y_s+m) para todo m.

Modelos Autorregresivos (AR)

En un modelo autorregresivo, la variable endógena de un período t es explicada por las observaciones de ella misma correspondientes a períodos anteriores, más un término de error. En el caso de procesos estacionarios con distribución normal, toda Y_t puede expresarse como una combinación lineal de sus valores pasados más un término de error. El orden del modelo expresa el número de observaciones retrasadas de la serie temporal analizada que intervienen en la ecuación.

El término de error del modelo es un Ruido Blanco (RB) cuando cumple las tres hipótesis básicas tradicionales: media nula, varianza constante y covarianza nula entre errores correspondientes a observaciones diferentes.

Un proceso de Ruido Blanco es una sucesión de variables aleatorias (proceso estocástico) que cumple con las siguientes características:

• Siempre es invertible (está directamente invertido).
• Para ser estacionario, ha de cumplirse que |φ| < 1.
• La función de autocorrelación total no se anula, pero se va amortiguando hacia cero.
• La función de autocorrelación parcial se anula para retardos superiores al orden.

Modelos de Medias Móviles (MA)

Un modelo de medias móviles explica el valor de una determinada variable en un período t en función de un término independiente y una sucesión de errores correspondientes a períodos precedentes, ponderados convenientemente.

• Siempre es estacionario.
• Para ser invertible, es necesario que |θ| < 1.
• La autocorrelación sólo tiene un punto significativo. El modelo "olvida" la correlación con períodos distintos al inmediatamente anterior y el correlograma sólo tendrá un punto significativo.
• La función de autocorrelación parcial no se anula, pero tendrá un comportamiento amortiguado hacia 0.

Procesos No Estacionarios

Un proceso es no estacionario cuando su variabilidad y/o su media cambian en el tiempo. El cambio en la varianza implica que la dispersión (variabilidad) no es constante en el tiempo. El cambio en la media implica una tendencia (a crecer o decrecer), la serie no oscila alrededor de un valor constante.

Autocovarianza

La autocovarianza está definida por los distintos valores que tomaría dicha covarianza cuando cambiamos el lapso temporal entre las observaciones de la serie que manejamos.

Ergodicidad

La ergodicidad permite inferir valores de una serie en función de la información que sobre ella nos da su propio pasado, logrando estimadores consistentes. Si se da esta propiedad, la pérdida de información al no considerar la influencia de los infinitos valores obtenidos en el pasado es cada vez más escasa e incluirlos añadiría poca información para la definición del proceso generador de datos que se intenta reproducir para aplicar al futuro.

Autocorrelación Parcial

La autocorrelación parcial mide los valores de correlación entre dos variables aleatorias separadas entre sí "j" períodos y en función de los valores intermedios entre ellas.

Criterio de Información de Akaike (AIC)

El Criterio de Información de Akaike (AIC) es una medida de la calidad relativa de un modelo estadístico, para un conjunto dado de datos. Es un medio para la selección del modelo. Maneja un *trade-off* entre la bondad de ajuste del modelo y la complejidad del modelo. Se basa en la entropía de información: ofrece una estimación relativa de la información perdida cuando se utiliza un modelo determinado para representar el proceso que genera los datos.