Propiedades Fundamentales y Convergencia de la Transformada de Laplace

Propiedades de la Transformada de Laplace

Definición 6.2.1. Función de Tipo Exponencial

Sea f una función continua por secciones en el intervalo [0, ∞). Se dice que f es de tipo exponencial si existen constantes positivas a, b y t₀ tales que |f(t)| ≤ be^at para todo t ≥ t₀.

Notemos que si existe una constante a tal que el límite lim_t→∞ f(t)/e^at existe y es finito, entonces f es una función de tipo exponencial. En efecto, sea:

L = lim_t→∞ f(t)/e^at

Por la definición de límite se deduce la existencia de un número t₀ > 0 tal que si t ≥ t₀, entonces:

|f(t)/e^at − L|

o equivalentemente,

|f(t)| L| + 1)e^at

y la condición se cumple tomando b = |L| + 1.

Como consecuencia inmediata de este criterio, vemos que las funciones consideradas en los ejemplos previos y las funciones polinómicas son de tipo exponencial. No obstante, la función f(t) = e^t2 no es de este tipo (razonese por qué).

Espacio de Funciones de Tipo Exponencial (E)

En adelante, designaremos con el símbolo E al conjunto formado por las funciones de tipo exponencial. No es difícil comprobar que el conjunto E, con la suma ordinaria y el producto de funciones por un escalar, tiene estructura de espacio vectorial. El siguiente resultado, casi inmediato, garantiza que la aplicación que hace corresponder a cada función f ∈ E su transformada de Laplace es lineal.

Proposición 6.2.2. Linealidad de la Transformada de Laplace

Si f₁ y f₂ son dos funciones de tipo exponencial y α es un número real, entonces:

L(αf₁ + f₂) = αL(f₁) + L(f₂)

Convergencia de la Integral de Laplace

Como aplicación del criterio de comparación para integrales impropias, se deduce que si f es una función de tipo exponencial, entonces existe algún s₀ ∈ ℝ tal que la integral que define la transformada de Laplace converge absolutamente. Aplicando de nuevo este criterio, deducimos que la integral también converge absolutamente para cada s ≥ s₀. Este hecho implica, en particular, el siguiente teorema, que puede y debe compararse con el resultado sobre la estructura del conjunto de convergencia (absoluta) de una serie de potencias.

Teorema 6.2.3. Convergencia Absoluta

Si f es una función de tipo exponencial, entonces existe un s₀ tal que la integral que define la transformada de Laplace de f converge absolutamente para cada s ≥ s₀. En particular, el conjunto de convergencia absoluta de la transformada de Laplace es un intervalo no acotado superiormente.

Abscisa de Convergencia

El intervalo al que hace referencia el teorema precedente recibe el nombre de conjunto de convergencia absoluta de la transformada, y su extremo inferior, abscisa de convergencia.