Propiedades de la Multiplicación y Potenciación en Números Enteros

Propiedades de la Multiplicación en Números Enteros

Propiedad Conmutativa

Establece que si se cambia el orden de los factores, no se altera el producto.

Ejemplo: [3 . (-2)] . 8 = 3 . [(-2) . 8] → (-6) . 8 = 3 . (-16) → -48 = -48

Propiedad Asociativa

Establece que si se agrupan los factores de distintas formas, se obtiene el mismo producto.

Ejemplo: [3 . 24] . 2 = 3 . [24 . 2] → 72 . 2 = 3 . 48 → 144 = 144

Elemento Neutro

En el conjunto de los números enteros (Z), el elemento neutro de la multiplicación es el número 1.

Ejemplo: (-4) . 1 = -4; 1 . (-6) = -6

Factor Cero

Es el factor que anula a cualquier número.

Ejemplo: 0 . 12 = 0

Propiedad Distributiva

Con respecto a la adición, se aplica cuando uno de los factores es una suma con dos o más sumandos, y consiste en multiplicar cada uno de ellos por el factor, para luego sumar estos productos.

Ejemplo: 4 . (6 + 2) = 24 + 8 = 32; (-7) . [(-2) + 5] = 14 - 35 = -21

Propiedades de la Potenciación en Números Enteros

Potencia de Base Positiva

Si la base es un entero positivo y el exponente es un número natural par o impar, el resultado es un entero positivo.

Ejemplo: (+3)² = 9

Potencia de Base Negativa y Exponente Par

Si la base es un entero negativo y el exponente es un número natural par, el resultado es un entero positivo.

Ejemplo: (-2)⁴ = 16

Potencia de Base Negativa y Exponente Impar

Si la base es un entero negativo y el exponente es un número natural impar, el resultado es un entero negativo.

Ejemplo: (-2)⁵ = -32

Propiedades de la Potenciación en Z

Multiplicación de Potencias de Igual Base

Se escribe la misma base y se suman los exponentes.

Ejemplo: (-2)³ . (-2)² = (-2)⁵

División de Potencias de Igual Base

Se escribe la misma base y se resta el exponente del dividendo menos el exponente del divisor.

Ejemplo: (-4)⁶ / (-4)⁴ = (-4)⁶⁻⁴ = (-4)²

Potencia de una Potencia

Se escribe la misma base y se multiplican los exponentes.

Ejemplo: [(-5)³]² = (-5)⁶

Potencia de un Producto

Se eleva cada factor al exponente de la potencia.

Ejemplo: (5 . 4)³ = 5³ . 4³ = 20³

Potencia de un Cociente

Se eleva el dividendo y el divisor al exponente de la potencia.

Ejemplo: [(-2) / (+7)]³ = (-2)³ / (+7)³

Operaciones Combinadas con Potencias en Z

Las operaciones con potencias que contengan potencias de igual base, potencias de una multiplicación o división, o potencia de una potencia, se pueden simplificar antes de calcular.

Ejemplos:

• Potencia de una potencia: [5³ . (-3)²]³ . 2 / [5 . (-3) . 2] = 5⁹ . (-3)⁶ . 2 / [5 . (-3) . 2] = 5⁸ . (-3)⁵ . 2⁰ = 5⁸ . (-3)⁵
• Potencias de igual base: 3² . (-3) . 2 / (2² . 3³ . 3) = 3² . 3 . 2 / (2² . 3³ . 3) = 3³ . 2 / (2² . 3⁴) = 3⁻¹ . 2⁻¹ = 1/18

Operaciones Combinadas

Se efectúa primero la potenciación, luego las multiplicaciones o divisiones, y por último, las sumas y restas.

Ejemplo: 2 + 4 . 3² / 2 = 2 + 4 . 9 / 2 = 2 + 36 / 2 = 2 + 18 = 20

Con signos: [3³ - (-5)²] / (2²)² = [3³ - (-5)²] / 2⁴ = [27 - 25] / 16 = 2 / 16 = 1/8