Representación de una función y teoremas matemáticos

Representar una función

1) Dominio. 2) Puntos de corte:

y=0; x=0. Con los números que nos den ponemos dos puntos (-,0) y (0,-).

3) Asintotas:

AV: lim y si sale infinito lim por la izq y lim por la drcha. Pero ver los signos del infinito. AH lim de infito de la función.

4) Crecimiento y decrecimiento:

Hacer la derivada de la función y se iguala a 0. F´>0 creciente. F´<0 decreciente.

5) Concavidad y convexidad:

Se hace la segunda derivada y se iguala a 0. F”>0 concava. F”<0 convexa.

Teorema de Bolzano

Continua en [a,b] Signo f(a) diferente signo f(b). Se sustituyen los puntos por separado en la función y miramos que los signos den diferentes. Sustituimos c por las x y lo igualamos al numero que sea f(c).

Teorema de Rolle

Continua [a,b]. Derivable (a,b). Si f(a)=f(b) y f(c)=0.

Teorema Valor Medio

Continua [a,b] y derivable (a,b). f(c)= f(b)-f(a)/b-a.

Optimización

Hay que conseguir montar un sistema y de ahí ya despejamos x e y.

Discutir un sistema

Rango (a) /= rango (a*) à sistema indeterminado (sin solución). Te dan las funciones (varias) y formamos una matriz ( a 1 1 | 1). Después formamos un determinante |A|= | a 1 1| y hacemos sarrow y va a dar a= un número que puede ser + -. Si es + - con el + cogemos y de la anterior matriz cambiamos la a por el número que sea y cogemos el cuadrado de arriba a la izq y hacemos sarrow y vemos el rango que da. Después hacemos la matriz ampliada. |A*| y para ello cogemos todos los números excepto la primera columna y volvemos a hacer sarrow. Con la del – hacemos exactamente lo mismo.

Ecuación Matricial

Donde este la X a su izq y a su drcha hay que poner la A-1y después del = poner las mismas A-1 que había a la izq en el mismo lugar.

Derivadas

nº=0 ; x=1; x^n= n x^n-1; La de la raíz= 1/ n por la raíz igual con n-1; E^x=e^x; sen x= cos x; cos x= -sen x; f(x) + g(x)= f´(x) + g´(x); f(x) x g(x)= f´(x) x g(x) + g´(x) x f(x); f(x)/g(x)= f´(x) x g(x) – f(x) x g´(x)/ g(x) elevado a 2.

Límites

infinito/infinito= Gr P < gr q=0; gr p=Gr q; gr p> Gr Q= + - infinito.

0/0 1) sacar factor común a la x y sustituir x por 0.

2) Si abajo hay raíz se pone lo mismo y se multiplican ambos por signo contrario de lo de abajo.

Infinito – infinito: 1) dos raíces: se pone arriba lo mismo y se multiplica por lo mismo con el signo cambiado y partido todo ello por lo mismo con el signo cambiado.

Continuidad de una función

Hay que hacer los límites por drcha. Y por izq y si dan todas iguales son continuas si no son discontinuas.