Resolución de Ecuaciones Diferenciales: Lineales y Exactas

Ecuaciones Diferenciales Lineales

La forma canónica de una ecuación diferencial lineal es:

dy + p(x)y dx = Q(x) dx

Sabemos que y = u.v, entonces dy = u.dv + v.du. Sustituyendo, obtenemos:

u.dv + v.du + P(x)u.v dx = Q(x) dx

Agrupamos términos e incorporamos la condición de que se iguale a cero:

u.dv + v(du + P(x)u dx) = Q(x) dx

Sabemos que u.dv = Q(x) dx. Resolvemos el término du + p(x)u dx igualando a 0 y dividiendo todo por u:

du + P(x)u dx = 0 → du/u = -P(x) dx

Integramos: ∫ du/u = - ∫ P(x) dx + C

Considerando la solución particular de C = 0, nos queda ln(u) = -∫ P(x) dx. Por definición logarítmica: u = e^-∫P(x)dx. Entonces...

e^-∫P(x)dx dv = Q(x) dx → dv = Q(x)e^∫P(x)dx dx

v = ∫e^∫P(x)dx Q(x) dx + C

Si reemplazamos y = u.v, obtenemos:

y = e^-∫P(x)dx (∫Q(x)e^∫P(x)dx dx + C)

siendo esta la solución general.

Ecuaciones Diferenciales Exactas

Una ecuación diferencial de la forma P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 es una ecuación diferencial exacta si el primer miembro de la igualdad es la diferencial total de una función de dos variables. Existe una función U(x, y) = C tal que su diferencial es exactamente igual al primer miembro de la función:

Sea P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0, se debe probar que ∂P(x, y)/∂y = ∂Q(x, y)/∂x son derivadas cruzadas de segundo orden.

Según el teorema de Schwartz:

• ∂P(x, y)/∂y = ∂²u/∂x∂y
• ∂Q(x, y)/∂x = ∂²u/∂y∂x

Siendo U = U(x, y), el problema se reduce a determinar la función U(x, y) = C.

Si ∂U(x, y)/∂x = P(x, y), entonces U(x, y) = [∫P(x, y) dx] + C(y)

Donde C es la constante de integración en función de y. Luego, para determinar C(y):

∂/∂y ∫P(x, y) dx + C'(y) = Q(x, y)

Entonces despejamos C'(y) y derivamos Q:

C'(y) = Q(x, y) - ∂/∂y ∫P(x, y) dx

Por ende:

C(y) = ∫[Q(x, y) - ∂/∂y ∫P(x, y) dx] dy + C

De esta manera, obtenemos la solución general:

U(x, y) = ∫P(x, y) dx + ∫[Q(x, y) - ∂/∂y ∫P(x, y) dx] dy = C

Diferencial de una Función

Sea la función y = f(x) que suponemos derivable y, por ende, continua en el intervalo [a; b]. Se llama diferencial de una función, y se escribe “dy” o “df”, al producto de la derivada de la función por el incremento de la variable. Entonces, la definición es: “diferencial de una función y = f(x) derivable se define como el producto de su derivada por el incremento de la variable independiente”.

Recordemos que en un punto x ∈ [a; b], la derivada de la función se define como:

f'(x) = lim_Δx→0 (Δy/Δx)

Donde podemos observar que cuando Δx → 0, la razón (Δy/Δx) tiende a un número determinado f'(x) y, por lo tanto, esta razón incremental se diferencia de la derivada f'(x) en un infinitésimo. Es decir, por una propiedad de los infinitésimos:

Δy/Δx = f'(x) + ε(x), donde ε(x) → 0 y Δx → 0.

Sabemos que Δy = f'(x)Δx + ε(x)Δx. En virtud de la continuidad de f(x), se sabe que Δy es un infinitésimo para Δx → 0. También sabemos que f'(x) es un infinitésimo equivalente a Δy, o sea que:

lim_Δx→0 f'(x)Δx/Δy = 1

Asimismo, sabemos que ε(x)Δx es un infinitésimo de orden superior a Δy, o sea:

lim_Δx→0 ε(x)Δx/Δy = 0

Δy = f'(x)Δx + ε(x)Δx

El primer sumando recibe el nombre de “Parte principal del incremento” y el segundo “Término complementario”. Si f'(x) ≠ 0, la parte principal del incremento recibe el nombre de diferencial de la función, y se designa por dy.

Expresión Analítica

Sea la función identidad: y = f(x) = x. Aplicando la fórmula para calcular la diferencial:

dy = f'(x)Δx

Pero como y = x, resulta:

dy = dx → dy = f'(x)Δx

Sabemos que la derivada: f'(x) = 1 → dx = 1Δx → dx = Δx

Con lo que queda probado que el incremento de la variable independiente es igual a la diferencial de esa variable. Por infinitésimo equivalente:

Si y = f(x) → dy = f'(x)dx

Derivada de la función. Reemplazamos Δx por dx para poder demostrar que estos son iguales. Si despejamos la derivada pasando dx al otro miembro dividiendo:

f'(x) = dy/dx

Δy ≠ dy ya que ambos son infinitésimos equivalentes.

lim_Δx→0 (dy/Δy) = 1