Resolución de Ecuaciones Diferenciales con el Método de Elementos Finitos

Introducción

En una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, existe una familia uniparamétrica de funciones que son solución. Para imponer las condiciones de contorno, estas deben satisfacer la solución de la ecuación diferencial.

Resolución Débil

1. Establecer una familia paramétrica de funciones candidatas que aproximen la solución. Su aplicación en la forma fuerte de la ecuación diferencial no verifica la identidad de la ecuación y crea un residuo.
2. Sustituir la familia de funciones candidatas en la forma débil del problema.
3. Escoger funciones de peso (w(x)) concretas para introducir en la forma débil. Se utilizan tantas w(x) como parámetros haya en la fórmula de posibles soluciones.

Alternativas

• Aplicar las condiciones de contorno en forma débil en lugar de en la función candidata. Esto elimina un parámetro de la familia.
• Conservar los parámetros iniciales de la familia de funciones candidatas (requiere el uso de dos w(x)).

Es importante garantizar que la formulación débil de problemas de contorno conduzca a ecuaciones lineales mediante una función candidata que sea combinación lineal de funciones de forma.

Método de Galerkin

El método de Galerkin es un procedimiento de resolución de problemas de contorno que utiliza como funciones de peso las propias funciones de forma. Este método garantiza la obtención de un sistema lineal de ecuaciones cuyas incógnitas son los parámetros de la función candidata utilizada.

Para que la matriz M_ij sea de banda, las funciones de forma deben ser funciones interpolantes. Si M_ij = 0, implica que hay dos nodos inconexos.

Teorema de la Divergencia

Para un campo vectorial F en un volumen V encerrado por una superficie ∂V, definida por un vector unitario ñ normal y exterior, se cumple:

∫_V div F = ∫_∂V F • ñ

Operadores

• Gradiente: Transforma una función real en una función vectorial.
• Divergencia: Transforma una función vectorial en una función real.

Cálculo de Coeficientes y Matrices

Los coeficientes de las funciones de forma se obtienen calculando la inversa de la matriz que contiene las coordenadas de los nodos del elemento. Un elemento con 6 nodos (Δ6n) implica 6 elementos de forma.

Cambiar el orden de los nodos de un elemento no requiere recalcular las integrales, sino reordenar las componentes en la matriz de coeficientes.

Si calculamos la matriz M’ de un elemento Ω’ de referencia, podemos obtener M de cualquier otro Ω reordenando los coeficientes de M’ y multiplicando por el factor longitud(Ω) / longitud(Ω’).

Cuadratura Numérica

La cuadratura numérica es la forma más eficiente de calcular las integrales en el elemento de referencia. Transforma una integral de volumen en una integral doble y una integral de frontera en una integral sobre una curva.

Normalmente, en el método de elementos finitos, se usan cuadraturas de Gauss-Legendre. En las integrales de Newton-Cotes, se fija de antemano la posición de los puntos de integración. En las integrales de Gauss-Legendre, los puntos se colocan donde se puedan integrar polinomios del mayor grado posible.