Resolución de Problemas Geométricos: Planos, Rectas y Distancias

Plano que contiene a r y es paralelo a s:

Como tienes r, R es un punto de π y dr un vector paralelo a π. Como s es paralelo, ds es // a π. Calculamos el plano con eso.

Plano paralelo y equidistante a r y s:

Como es paralelo a ambos, su vector normal es dr x ds → 4x - 2y + z + d = 0. Para sacar d, calculo dist(R, π) que es la mitad de dist(r, s); como la d está en valor absoluto, hay 2 resultados. Para saber cuál es, calculo dist(S, π). Tendrán que tener la misma d.

Recta que pasa por P y corta a r y s:

Hago un plano que pasa por P y corta a r y s, al cortarlos significa que también los contiene. Hago el plano con P, dr y ds, también me valen PR y PS. Hallo la intersección entre la recta r y el plano, el punto de intersección, llamado M, será un punto de la recta que necesitamos. Saco la ecuación de la recta con P y M, con el vector PM, que es // a la recta que necesitamos, y uno de los dos puntos.

Determinar a y b para que π contenga a r:

Para que se cumpla, el vector n del plano debe ser _|_ a dr → n · d = 0. Un punto cualquiera de r tiene que pertenecer al plano → Saca un punto de r y sustitúyelo en la ecuación del plano.

Lugares Geométricos:

Plano Mediador (Mediana):

dist(x, A) = dist(x, B) (fórmula de la distancia entre 2 puntos).

Plano Bisector:

dist(x, π) = dist(x, π´). Al quitarse los valores absolutos, se quedan dos ecuaciones: 1º: Ambos positivos. 2º: Uno positivo, el otro negativo.

P de r que equidiste de B y C:

dr(λ, λ, -2λ) R(5, 0, -2); Px = 5 + λ, Py = λ, Pz = -2 - 2λ → dist(P, B) = dist(P, C) (Distancia punto-punto), las raíces se van, el resultado te da el valor de λ → Su valor lo sustituyes en la paramétrica de r y sacas P.

P´ simétrico de P respecto de π:

P´ y P están en la recta que pasa por P y es _|_ a π y cumple que dist(P, π) = dist(P´, π), so, r corta a π por el punto medio. Sacas r con P y n del π. Calculo el punto de corte r-π. Con el punto de corte, que es = a Pmedio, y P hallo P´.

Recta _|_ común a r y s:

Hago la recta como la intersección de 2 planos:

1º Plano π (contendrá a r):

Como contiene a r, uno de sus vectores // será dr; el otro vector // será dr x ds, ya que al ser _|_ a r, el producto vectorial sacará un vector _|_ a dr, y por tanto // a π. Para sacar n → dr x (dr x ds). P es R.

2º Plano π´:

Lo mismo pero con ds y S.

Halla P de r tal que PA y PB sean _|_:

Cualquier P de r tendrá las coordenadas x = P + dr, y = P + dr, z = P + dr. Calculo PA y PB. Como han de ser _|_ , PA · PB = 0. Así saco λ. Sustituyo λ y saco P.