Sistemas de Numeración y Desarrollo del Concepto de Número en Niños

Sistemas de Numeración a lo Largo de la Historia

La humanidad ha utilizado diversos sistemas de numeración a lo largo de la historia. Estos se pueden clasificar en:

• Sistemas de numeración aditivos: En estos sistemas, se utilizan símbolos para la unidad, la base y las distintas potencias de la base. Para representar un número, se repiten estos símbolos las veces necesarias hasta completar su valor. La suma de los valores de los símbolos determina el número representado. Una característica clave es que los símbolos pueden colocarse en cualquier orden.
• Sistemas de numeración multiplicativos: Se emplean símbolos para la unidad, la base, las potencias de la base y los números comprendidos entre la unidad y la base. El principio multiplicativo implica el uso de combinaciones de pares ordenados de signos. La colocación de los signos es crucial para su interpretación.
• Sistemas de numeración posicionales: Se definen símbolos para la unidad y los números entre la unidad y la base. También se incluye un símbolo (el cero) para indicar la ausencia de unidades de un cierto orden. Las reglas básicas son:
  1. Las únicas cifras son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
  2. Cada diez unidades de primer orden forman una unidad de segundo orden, y así sucesivamente.
  3. Para representar un número, se comienza por las unidades de primer orden, seguidas inmediatamente a la izquierda por las de segundo orden, y así sucesivamente.

Concepto de Número Natural

Contar en voz alta es una habilidad temprana en los niños, pero no implica la adquisición del concepto de número. Piaget identificó tres limitaciones en los niños que comienzan a contar:

1. El niño cree que características como el tamaño, la forma, la disposición o el peso influyen directamente en el número.
2. No comprende la necesidad lógica de incluir en un conjunto los objetos previamente contados.
3. No reconoce la necesidad lógica de ordenar los objetos antes de contarlos, por lo que pueden contar un objeto dos veces o saltarse alguno.

Estas limitaciones se relacionan con los conceptos de conservación de la cantidad discreta, el aspecto cardinal de los números y el aspecto ordinal. Piaget realizó un experimento sobre la conservación de la cantidad discreta. Presentó a niños dos conjuntos de igual cantidad de objetos, dispuestos en filas simétricas, en correspondencia uno a uno. Al preguntar en qué fila hay más objetos, responden que en las dos hay igual cantidad. Pero si se separan los elementos de una fila, muchos niños de Educación Infantil (e incluso de primaria) responden que hay más elementos en la fila donde los objetos están más separados. Este es el problema de conservación de la cantidad discreta.

Para Piaget, la construcción del concepto de número requiere capacidades lógicas previas, como clasificar, ordenar y establecer correspondencias. Estas capacidades se alcanzan en el estadio del pensamiento operacional. Sin estas capacidades, las técnicas tradicionales de enseñanza del número natural, como contar, pueden reducirse a un procedimiento memorístico sin valor educativo.

La inclusión numérica implica que, al realizar un conteo, cada número representa una relación que incluye los objetos contados anteriormente. El concepto de número natural se desarrolla lentamente. Comienza con una percepción global de la cantidad ("muchos", "pocos"), continúa con comparaciones ("más que", "menos que", "igual que"). Un paso importante es la simbolización del número, primero para pequeñas cantidades y luego para cantidades elevadas, sin ayuda de la percepción, lo que requiere un sistema de numeración.

El aprendizaje del sistema de numeración decimal se completa con el desarrollo de las estructuras aditiva y multiplicativa.

Enfoque Basado en el Cardinal

El número enunciado en último lugar no solo representa al elemento correspondiente, sino también al total de la colección. Por ejemplo, "6" no solo es la palabra-número que corresponde a la última bola contada, sino que representa la totalidad de la colección; es el cardinal de la misma. Según Fuson, esta regla precede a la comprensión del principio cardinal y podría tener su origen en la imitación de la actividad sociocultural de contar. Los niños que aplican esta regla responden "6" si se les pregunta cuántas bolas hay, pero si se les pide que muestren las 6, señalan solo la última bola contada.

Las estructuras mentales subyacentes al conteo se construyen gradualmente. Algunos principios, como el de no pertinencia del orden, se alcanzan antes que otros, como el de cardinalidad, que es más tardío. La práctica del conteo por sí sola no es suficiente para adquirir la conservación del número, pero puede contribuir a la conservación de la cantidad.

Enfoque Basado en el Conteo

Existen varios procedimientos para determinar el número de elementos de una colección: el conteo súbito, la evaluación global y el conteo. El "conteo súbito" (subitizing en inglés) es la operación que realizamos cuando, de un vistazo y sin necesidad de contar conscientemente, determinamos la cantidad de elementos en un tiempo muy corto, casi instantáneamente. Esta capacidad está presente en niños desde los 5 meses, pero solo sirve para números pequeños. Durante mucho tiempo se pensó que el límite del conteo súbito era 7, pero algunos autores, como Fischer, sostienen que el límite claro está en 3, y que hay una discontinuidad entre 3 y 4.

La extensión del conteo súbito hasta 7 parece estar ligada al reconocimiento de patrones o configuraciones. Podría haber un procedimiento mixto, que consiste en "subitizar" una cantidad pequeña y contar a partir de ahí los elementos restantes. Esto convertiría el conteo súbito en una capacidad susceptible de ser desarrollada y permitiría contar más rápidamente colecciones relativamente importantes.

Los Comienzos del Cálculo

Existen dos formas de comunicar cantidades: las colecciones de muestra y las representaciones numéricas. Los niños se inician en la resolución de problemas de suma y resta empleando dos tipos de procedimientos:

1. Procedimientos para contar: Requieren el uso de objetos para representar la situación.
2. Relación directa entre cantidades mediante representaciones numéricas: No se requiere la constitución física de colecciones.

La presencia del esquema parte-todo es un logro conceptual importante. Permite al niño pensar en los números como compuestos de otros números y entender que una colección puede ser un conjunto en sí mismo y un subconjunto de otro mayor. Esto posibilita la comprensión y aplicación de la regla del recuento progresivo, un hito en el desarrollo del cálculo. Mediante esta regla, a partir de una cantidad inicial, se prosigue el conteo con los elementos de la segunda cantidad, considerándolos parte y todo al mismo tiempo.

Las igualdades numéricas tienen un gran valor pedagógico, ya que, aunque no sirven para resolver problemas, son excelentes situaciones de aprendizaje del cálculo. Los niños utilizan estrategias como:

• Contar todo con modelos (RT).
• Contar sin modelos (RTP): Se inicia el conteo en el primer sumando y se continúa en el segundo sin usar objetos.
• Contar a partir del primer sumando (RSP): Se inicia el conteo con el cardinal del primer sumando y se continúa con el segundo.
• Contar a partir del sumando mayor (RSM).
• Contar cantidades: Solo se representa físicamente la segunda cantidad.

Para la sustracción, los niños usan estrategias como:

• Representar la cantidad mayor y quitar objetos iguales al sustraendo.
• Contar hacia atrás desde el número mayor.
• Añadir a la cantidad menor los objetos necesarios hasta igualar la mayor.
• Emparejamiento: Correspondencia uno a uno entre dos conjuntos, contando los elementos no emparejados.

Según las relaciones semánticas, se distinguen cuatro tipos de problemas aditivos:

• De cambio: Acción temporal que resulta en un incremento o decremento.
• De combinación: Dos cantidades disjuntas que se consideran aisladamente o como parte de un todo.
• De comparación: Determinar la diferencia entre dos cantidades conocidas.
• De igualación: Mezcla de problemas de comparación y cambio.