Solución de Problemas Matemáticos: Ejercicios Resueltos

Ejercicios de Matemáticas Resueltos

Problema 1: Cálculo de Edades

Si Ana es 12 años menor que Eva y dentro de 7 años la edad de Eva es el doble que la edad de Ana, ¿qué edad tiene Eva?

Solución:

• Sea x la edad actual de Ana.
• Eva tiene 12 años más que Ana, por lo que su edad es x + 12.
• Dentro de 7 años, Ana tendrá x + 7 años.
• Dentro de 7 años, Eva tendrá (x + 12) + 7 = x + 19 años.
• El doble de la edad de Ana dentro de 7 años será 2(x + 7).
• Según el problema, 2(x + 7) = x + 19.
• Resolviendo la ecuación: 2x + 14 = x + 19; 2x - x = 19 - 14; x = 5.

Por tanto, la edad actual de Ana es 5 años y la de Eva es 5 + 12 = 17 años. Dentro de 7 años, Ana tendrá 12 años y Eva tendrá 24 años.

Problema 2: Suma de Doble y Triple de un Número

Encontrar el número que cumple que la suma de su doble y de su triple es igual a 100.

Solución:

• Sea x el número buscado.
• Su doble es 2x y su triple es 3x.
• La suma de su doble y su triple es 2x + 3x = 100.
• Resolviendo la ecuación: 5x = 100; x = 100 / 5 = 20.

El número buscado es 20. El doble de 20 es 40, su triple es 60 y ambos números suman 100.

Problema 3: Cálculo de Porcentajes

Si 25,5 es el 15% de una cierta cantidad, ¿cuál es el 80% de dicha cantidad?

Solución:

• Sea x la cantidad buscada.
• El 15% de x se calcula como (15/100)x.
• Según el problema, (15/100)x = 25,5.
• Resolviendo la ecuación: x = 25,5 * (100/15) = 170.
• El 80% de 170 es (80/100) * 170 = 136.

Por tanto, el 80% de la cantidad es 136.

Problema 4: Edades de una Familia

El padre de Andrés tiene 30 años más que él y su madre tiene 5 años menos que su padre. Averiguar la edad actual de Andrés sabiendo que la suma de las edades de sus padres es 7 veces la edad de Andrés.

Solución:

• Sea x la edad actual de Andrés.
• Su padre tiene x + 30 años.
• Su madre tiene (x + 30) - 5 = x + 25 años.
• La suma de las edades de los padres es (x + 30) + (x + 25) = 7x.
• Resolviendo la ecuación: 2x + 55 = 7x; 5x = 55; x = 11.

La edad de Andrés es 11 años. Las edades de su padre y de su madre son 41 y 36 años, respectivamente.

Problema 5: Cálculo de Catetos en un Triángulo Rectángulo

Hallar los catetos de un triángulo rectángulo que tiene una hipotenusa de 5 cm y un cateto que mide 1 cm más que el otro.

Solución:

• Sea x la longitud de un cateto.
• El otro cateto mide x + 1 cm.
• Aplicando el teorema de Pitágoras: 5² = x² + (x + 1)².
• Desarrollando la ecuación: 25 = x² + x² + 2x + 1; 2x² + 2x - 24 = 0.
• Esta es una ecuación cuadrática que se puede resolver utilizando la fórmula general.

Problema 6: Cálculo del Precio de un Televisor

Alberto ha comprado un televisor a plazos. El mes pasado pagó las 3/5 partes de su importe, este mes paga los 7/8 del resto y el mes que viene dará 50 euros. ¿Cuánto costó el televisor?

Solución:

• Sea x el precio del televisor.
• El mes pasado pagó (3/5)x.
• El resto es x - (3/5)x = (2/5)x.
• Este mes paga (7/8) * (2/5)x = (14/40)x.
• El mes que viene pagará 50 euros.
• La suma de todos los pagos es igual al precio del televisor: (3/5)x + (14/40)x + 50 = x.
• Resolviendo la ecuación: (24/40)x + (14/40)x + 50 = x; (38/40)x - x = -50; (-2/40)x = -50; x = 1000.

El televisor costó 1000 euros.

Problema 7: Distribución de Vacaciones

Juan distribuye las vacaciones de la siguiente forma: la mitad de los días en la playa, la cuarta parte de lo que le quedaba en la montaña y le sobraron 6 días para la familia.

Solución:

• Sea x el total de días de vacaciones.
• Días en la playa: (1/2)x.
• Días restantes: x - (1/2)x = (1/2)x.
• Días en la montaña: (1/4) * (1/2)x = (1/8)x.
• Días para la familia: 6.
• La suma de todos los días es igual al total de días de vacaciones: (1/2)x + (1/8)x + 6 = x.
• Resolviendo la ecuación: (4/8)x + (1/8)x + 6 = x; (5/8)x + 6 = x; (3/8)x = 6; x = 16.

Juan tuvo 16 días de vacaciones.