Tabla Completa de Derivadas y Pasos para el Estudio de Funciones
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Tabla de Derivadas
| Función Simple | Derivada | Función Compuesta | Derivada (Regla de la Cadena) |
|---|---|---|---|
| y = k (constante) | y' = 0 | ||
| y = x | y' = 1 | ||
| y = x2 | y' = 2x | y = f(x)2 | y' = 2 f(x) f'(x) |
| y = xn | y' = nxn-1 | y = f(x)n | y' = n f(x)n-1 f'(x) |
| y = 1/x | y' = -1/x2 | y = 1/f(x) | y' = -f'(x) / f(x)2 |
| y = 1/xn | y' = -n/xn+1 | y = 1/f(x)n | y' = -n f'(x) / f(x)n+1 |
| y = √x | y' = 1 / (2√x) | y = √f(x) | y' = f'(x) / (2√f(x)) |
| y = 3√x | y' = 1 / (3 3√x2) | y = 3√f(x) | y' = f'(x) / (3 3√f(x)2) |
| y = n√x | y' = 1 / (n n√xn-1) | y = n√f(x) | y' = f'(x) / (n n√f(x)n-1) |
| y = ax | y' = ax ln a | y = af(x) | y' = af(x) ln a f'(x) |
| y = ex | y' = ex | y = ef(x) | y' = ef(x) f'(x) |
| y = loga x | y' = 1 / (x ln a) | y = loga f(x) | y' = f'(x) / (f(x) ln a) |
| y = ln x | y' = 1/x | y = ln f(x) | y' = f'(x) / f(x) |
| y = sen x | y' = cos x | y = sen f(x) | y' = f'(x) cos f(x) |
| y = cos x | y' = -sen x | y = cos f(x) | y' = -f'(x) sen f(x) |
| y = tg x | y' = 1 + tg2x = 1 / cos2x | y = tg f(x) | y' = (1 + tg2f(x)) f'(x) = f'(x) / cos2f(x) |
| y = arcsen x | y' = 1 / √(1 - x2) | y = arcsen f(x) | y' = f'(x) / √(1 - f(x)2) |
| y = arccos x | y' = -1 / √(1 - x2) | y = arccos f(x) | y' = -f'(x) / √(1 - f(x)2) |
| y = arctg x | y' = 1 / (1 + x2) | y = arctg f(x) | y' = f'(x) / (1 + f(x)2) |
Reglas de Derivación
- Regla de la suma-resta: Si f(x) = u(x) ± v(x) → f'(x) = u'(x) ± v'(x)
- Regla del producto: Si f(x) = u(x) · v(x) → f'(x) = u'(x) · v(x) + u(x) · v'(x)
- Regla del cociente: Si f(x) = u(x) / v(x) → f'(x) = [u'(x) · v(x) - u(x) · v'(x)] / [v(x)]2
Estudio y Representación de Funciones
1. Dominio
Determinar el conjunto de valores para los cuales la función está definida.
2. Simetrías
Existen dos tipos principales de simetría:
- Respecto del eje OY (Funciones Pares): Se cumple que f(-x) = f(x).
- Respecto del origen (Funciones Impares): Se cumple que f(-x) = -f(x).
3. Puntos de Corte con los Ejes
- Con el eje OX (Eje de abscisas): Resolver la ecuación f(x) = 0. Las soluciones son las abscisas de los puntos de corte.
- Con el eje OY (Eje de ordenadas): Calcular f(0). El punto de corte es (0, f(0)), si x=0 pertenece al dominio.
4. Asíntotas
4.1. Asíntotas Verticales
Una función f(x) tiene una asíntota vertical en x = a si alguno de los límites laterales en ese punto es infinito:
límx→a⁺ f(x) = ±∞ o límx→a⁻ f(x) = ±∞
Suelen buscarse en los puntos que anulan el denominador o donde hay discontinuidades.
4.2. Asíntotas Horizontales
Una función f(x) tiene una asíntota horizontal en y = b si el límite de la función cuando x tiende a infinito (positivo o negativo) es un valor finito b:
límx→+∞ f(x) = b o límx→-∞ f(x) = b
4.3. Asíntotas Oblicuas
Una función f(x) tiene una asíntota oblicua de la forma y = mx + n si existen y son finitos los siguientes límites (con m ≠ 0):
- Pendiente (m):
m = límx→+∞ [f(x) / x] o m = límx→-∞ [f(x) / x] - Ordenada en el origen (n):
n = límx→+∞ [f(x) - mx] o n = límx→-∞ [f(x) - mx]
Nota: Si existe asíntota horizontal, no existirá asíntota oblicua en ese mismo lado (hacia +∞ o -∞).
5. Monotonía (Crecimiento y Decrecimiento) y Extremos Relativos (Máximos y Mínimos)
Se estudia el signo de la primera derivada (f'(x)):
- Si f'(x) > 0 en un intervalo, f(x) es creciente en ese intervalo.
- Si f'(x) < 0 en un intervalo, f(x) es decreciente en ese intervalo.
- Los puntos críticos (posibles máximos o mínimos) se encuentran donde f'(x) = 0 o donde f'(x) no existe (dentro del dominio).
- Se determina si un punto crítico es máximo o mínimo estudiando el cambio de signo de f'(x) a su alrededor o utilizando el criterio de la segunda derivada (f''(x)).
6. Curvatura (Concavidad y Convexidad) y Puntos de Inflexión
Se estudia el signo de la segunda derivada (f''(x)):
- Si f''(x) > 0 en un intervalo, f(x) es convexa (cóncava hacia arriba, ∪) en ese intervalo.
- Si f''(x) < 0 en un intervalo, f(x) es cóncava (cóncava hacia abajo, ∩) en ese intervalo.
- Los posibles puntos de inflexión se encuentran donde f''(x) = 0 o donde f''(x) no existe.
- Para confirmar la existencia de un punto de inflexión en x = a, se debe comprobar que hay un cambio en el signo de f''(x) (cambio de curvatura) al pasar de la izquierda a la derecha de 'a'.