Teoremas y Métodos Numéricos: Rolle, Bolzano, LU, Cholesky, Lagrange, Vandermonde, Newton, Chebyshev, Splines y Cuadratura

Teorema de Rolle y Teorema de Bolzano

Teorema de Rolle

El Teorema de Rolle se utiliza para comprobar cuándo cambia el signo de una función. Si el signo cambia, entonces f(a) * f(b) < 0, lo que implica que existe al menos una raíz en el intervalo [a, b].

Condiciones:

• f(x) debe ser continua en el intervalo [a, b].
• f(x) debe ser derivable en el intervalo (a, b). (Generalmente, esto se cumple por composición de funciones elementales).

Teorema de Bolzano

(El documento original no proporciona detalles sobre el Teorema de Bolzano, pero se asume su relevancia por el contexto).

Si una función continua f(x) tiene valores de signo opuesto en los extremos de un intervalo [a,b], entonces existe al menos un punto c dentro del intervalo (a,b) tal que f(c) = 0.

Métodos de Factorización Matricial

Factorización LU

Descomposición de una matriz A en el producto de una matriz triangular inferior L y una matriz triangular superior U:

A = LU

Para resolver un sistema Ax = b, se realizan los siguientes pasos:

1. Ly = b (Se resuelve para y)
2. Ux = y (Se resuelve para x)

Limitaciones: No se puede aplicar si algún determinante de las submatrices principales es igual a 0. En este caso, se utiliza la factorización PA = LU, donde P es una matriz de permutación.

Caso especial: Si la matriz A es estrictamente diagonal dominante, la factorización LU existe y es única.

Factorización de Cholesky

Aplicable a matrices reales, simétricas y definidas positivas. Descompone la matriz A como:

A = L * L^T

Donde L es una matriz triangular inferior con elementos diagonales positivos.

Ejemplo:

Dada la matriz A = (8, 2, -2; 2, 6, 1; -2, 1, 1), se descompone como A = L * L^T. Luego, para resolver Ax = b:

1. Ly = b
2. L^Tx = y

Cálculo de los elementos de L (ejemplo ilustrativo, no completo):

• 8 = l₁₁²
• 6 = l₂₁² + l₂₂²

Matriz Definida Positiva: Una matriz real y simétrica A se dice definida positiva si x^TAx > 0 para todo vector x no nulo.

Método de Gauss

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales Ax = b. Se basa en la eliminación gaussiana para transformar la matriz A en una matriz triangular superior.

Condición: Todas las submatrices principales de A deben ser invertibles.

Interpolación y Aproximación Polinomial

Interpolación de Lagrange

Construye un polinomio P(x) que interpola una función f(x) en un conjunto de nodos x₀, ..., x_n:

P(x) = f(x₀)l₀(x) + ... + f(x_n)l_n(x)

Donde l_i(x) son los polinomios de base de Lagrange, definidos como:

l_i(x) = (x - x₀)...(x - x_i-1)(x - x_i+1)...(x - x_n) / (x_i - x₀)...(x_i - x_i-1)(x_i - x_i+1)...(x_i - x_n)

Es decir, se omite el término (x-x_i) en el numerador y (x_i - x_i) en el denominador.

Interpolación con Matriz de Vandermonde

Se busca un polinomio de la forma:

P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a_nxⁿ

Se plantean ecuaciones utilizando los nodos y los valores de la función en esos nodos. Por ejemplo, si x = -1 y y = 1, entonces P(-1) = a₀ + a₁(-1) + a₂(-1)² = 1. Esto genera un sistema de ecuaciones que se puede representar en forma matricial con la matriz de Vandermonde.

Diferencias Divididas de Newton

Método para construir un polinomio de interpolación. Se basa en el cálculo de diferencias divididas:

• f[x₀] = f(x₀)
• f[x₀, x₁] = (f(x₁) - f(x₀)) / (x₁ - x₀)
• f[x₀, x₁, x₂] = (f[x₁, x₂] - f[x₀, x₁]) / (x₂ - x₀)
• Y así sucesivamente.

El polinomio de interpolación de Newton se construye como:

P(x) = f[x₀] + f[x₀, x₁](x - x₀) + f[x₀, x₁, x₂](x - x₀)(x - x₁) + ...

Nodos de Chebyshev

Conjunto de nodos que minimizan el error de interpolación polinomial. Se calculan como:

x_k = (a + b) / 2 + (b - a) / 2 * cos((2k + 1) / (2(n + 1)) * π)

Donde k = 0, 1, ..., n, [a, b] es el intervalo de interpolación, y n es el grado del polinomio.

Splines Cúbicos

Funciones polinómicas a trozos (generalmente de grado 3) que se utilizan para interpolar datos. Ofrecen mayor flexibilidad y suavidad que un único polinomio de alto grado.

Condiciones para un spline cúbico S(x):

1. S(x) es un polinomio cúbico (P₃(x)) en cada subintervalo [x_i, x_i+1]. Continuidad C².
2. S(x_i) = f(x_i) para todos los nodos x_i (condición de interpolación).
3. S_i(x_i+1) = S_i+1(x_i+1) (continuidad del spline en los nodos comunes).
4. S'_i(x_i+1) = S'_i+1(x_i+1) (continuidad de la primera derivada en los nodos comunes).
5. S''_i(x_i+1) = S''_i+1(x_i+1) (continuidad de la segunda derivada en los nodos comunes).
6. Condiciones de frontera (existen varias opciones):

• Natural: S''(x₀) = 0 y S''(x_n) = 0
• No es un nudo (Not-a-knot): S'''(x) es continua en x₁ y x_n-1
• Completo (Clamped): S'(x₀) = f'(x₀) y S'(x_n) = f'(xn)

Integración Numérica (Cuadratura)

Regla del Punto Medio

Fórmula de Newton-Cotes abierta con 1 nodo. Aproxima la integral como:

∫_a^b f(x) dx ≈ (b - a) * f((a + b) / 2)

Demostración:

∫_a^b f(x) dx ≈ ∫_a^b p₀(x) dx = ∫_a^b f(x₀) * l₀(x) dx = f(x₀) * ∫_a^b l₀(x) dx [A₀] = A₀ * f(x₀)

Regla del Trapecio

Fórmula de Newton-Cotes cerrada con 2 nodos. Aproxima la integral como:

∫_a^b f(x) dx ≈ (b - a) / 2 * [f(a) + f(b)]

Demostración:

∫_a^b f(x) dx ≈ ∫_a^b p₁(x) dx = ∫_a^b [f(x₀) * l₀(x) + f(x₁) * l₁(x)] dx = f(x₀) * ∫_a^b l₀(x) dx [A₀] + f(x₁) * ∫_a^b l₁(x) dx [A₁] = A₀ * f(x₀) + A₁ * f(x₁)

Regla de Simpson

Fórmula de Newton-Cotes cerrada con 3 nodos. Aproxima la integral como:

∫_a^b f(x) dx ≈ (b - a) / 6 * [f(a) + 4 * f((a + b) / 2) + f(b)]

Demostración:

∫_a^b f(x) dx ≈ ∫_a^b p₂(x) dx = ∫_a^b [f(x₀) * l₀(x) + f(x₁) * l₁(x) + f(x₂) * l₂(x)] dx = f(x₀) * ∫_a^b l₀(x) dx [A₀] + f(x₁) * ∫_a^b l₁(x) dx [A₁] + f(x₂) * ∫_a^b l₂(x) dx [A₂] = A₀ * f(x₀) + A₁ * f(x₁) + A₂ * f(x₂)

Regla del Trapecio Compuesta

Divide el intervalo [a, b] en subintervalos y aplica la regla del trapecio en cada uno:

∫_a^b f(x) dx ≈ h / 2 * [f(a) + 2 * Σ f(x_i) + f(b)]

Donde h = (b - a) / n, y la suma se realiza sobre los nodos interiores x_i.

Regla de Simpson Compuesta

Divide el intervalo [a, b] en un número par de subintervalos y aplica la regla de Simpson en cada grupo de tres nodos consecutivos:

∫_a^b f(x) dx ≈ h / 3 * [f(a) + 2 * Σ f(x_2j) + 4 * Σ f(x_2j-1) + f(b)]

Donde h = (b - a) / n, la primera suma se realiza sobre los nodos pares interiores y la segunda sobre los nodos impares interiores.

Fórmulas de Cuadratura de Tipo Interpolatorio

Una fórmula de cuadratura es de tipo interpolatorio si se obtiene integrando el polinomio interpolador p(x) de la función f(x):

∫_a^b f(x) dx ≈ ∫_a^b p(x) dx = A₀ * f(x₀) + A_i * f(x_i) + ... + A_n * f(x_n)

Donde A_i = ∫_a^b l_i(x) dx, siendo l_i(x) los polinomios de base de Lagrange.

Una fórmula de cuadratura es interpolatoria si y solo si su grado de precisión es al menos n - 1, donde n es el número de nodos.

Cota del Error

Demostración de la cota del error (ejemplo para un caso simple):

|ε| = |f(x) - p(x)| ≤ (M₂ / 2!) * max |(x - x₀)(x - x₁)| = (M₂ / 2) * (h² / 4) = (M₂ / 8) * h²

Donde M₂ es una cota superior de la segunda derivada de f(x) en el intervalo, y h es la longitud del subintervalo.