Tipos de Matrices y Propiedades de la Adición

Introducción a las Matrices

La introducción de las matrices en la matemática se debe, fundamentalmente, a W. R. Hamilton (1805-1865), J. J. Sylvester (1814-1897) y A. Cayley (1821-1895). Desde ellos hasta los primeros años del siglo XX, el estudio de las matrices progresó en forma espectacular.

Tipos de Matrices

Matriz Fila

Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Matriz Columna

La matriz columna tiene una sola columna.

Matriz Rectangular

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión m x n.

Matriz Cuadrada

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

Los elementos de la forma a_ii constituyen la diagonal principal.

La diagonal secundaria la forman los elementos con i + j = n + 1.

Matriz Escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz Identidad o Unidad

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz Traspuesta

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

Matriz Regular

Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.

Matriz Nula

En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz Triangular Superior

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz Triangular Inferior

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz Diagonal

En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

Matriz Singular

Una matriz singular no tiene matriz inversa.

Matriz Idempotente

Una matriz, A, es idempotente si: A² = A.

Matriz Involutiva

Una matriz, A, es involutiva si: A² = I.

Matriz Simétrica

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = A^t

Matriz Antisimétrica o Hemisimétrica

Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = -A^t

Matriz Ortogonal

Una matriz es ortogonal si verifica que: A·A^t = I.

Matrices Normales

Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si AA^t = A^tA. Obviamente, si A es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal.

Puesto que AA^t = A^tA, la matriz es normal.

Matrices Escalonada

Una matriz es escalonada si al principio de cada fila (o columna) hay un elemento nulo más que en la fila (o columna) anterior.

Matrices Escalares

Una matriz es escalar si es diagonal y además todos los elementos de la diagonal son iguales.

Definiciones Básicas

¿Qué es una Matriz?

Las matrices son un conjunto bidimensional de números o símbolos distribuidos de forma rectangular, en líneas verticales y horizontales, de manera que sus elementos se organizan en filas y columnas. Sirven para describir sistemas de ecuaciones lineales o diferenciales, así como para representar una aplicación lineal.

¿Qué es un Determinante?

Determinante es aquello que determina. El verbo determinar, por su parte, refiere a fijar los términos de algo, señalar algo para algún efecto, tomar una resolución, distinguir o discernir.

Adición de Matrices

En consecuencia, la suma de matrices solo está definida entre matrices del mismo orden.

Propiedades (Leyes de Adición)

Si A = a_ij y B = b_ij, son matrices m x n, entonces:

1. A + B es única
2. A + B = B + A (ley conmutativa)
3. A + (B + C) = (A + B) + C (ley asociativa)
4. A + 0 = 0 + A = A (0 = matriz nula)
5. A + (-A) = 0

-A = -(a_ij)

Propiedades de la Adición de Matrices

1. Una matriz cuyos elementos sean ceros, se le conoce como una matriz cero.
2. La adición de matrices es una operación conmutativa.
3. La adición de matrices es una operación asociativa.