Transformaciones Geométricas y Cuerpos en el Espacio: Conceptos Clave

Movimientos Geométricos

Tipos de Movimientos

a) Traslaciones:

Una traslación es un movimiento en el que cada punto de la figura se corresponde con otro punto, siguiendo la dirección, el módulo y el sentido de un vector de traslación. Los movimientos isométricos son aquellos que no alteran el tamaño de la figura trasladada. La composición de dos traslaciones es otra traslación, cuyo vector (Vt) es la suma de los vectores de traslación originales.

b) Giros:

Un giro es un movimiento que requiere un centro de giro y un ángulo de giro. Se realiza uniendo cada punto de la figura con el centro de giro, formando un segmento. Este segmento pivota según el ángulo de giro dado. Aunque la orientación de la figura cambia, las distancias entre los puntos se mantienen. Los puntos de la figura, después de girar, se denominan transformados. En educación primaria, es común usar un punto de la propia figura como centro de giro.

c) Simetría:

En una simetría, a cada punto p de la figura le corresponde un punto p', de tal manera que el segmento p-p' es perpendicular al eje de simetría, y la distancia de p y p' al eje es la misma. Este movimiento conserva la distancia pero no la orientación.

Composición de Simetrías

c.1) Ejes Paralelos:

La composición de simetrías de ejes paralelos equivale a una traslación. Se necesita un vector. Para pasar directamente de p a p'', se considera el doble de la distancia entre los ejes de simetría.

c.2) Ejes No Paralelos:

En este caso, el ángulo de giro resultante es el doble del ángulo que forman los ejes. La composición de simetrías de ejes no paralelos resulta en un giro, donde el centro de giro es el punto de intersección de los ejes, y el ángulo de giro es el doble del ángulo entre ellos.

Una figura es simétrica respecto a un eje cuando cada punto de la figura tiene su simétrico respecto a ese eje en otro punto de la figura. Las figuras geométricas pueden tener uno o más ejes de simetría. Por ejemplo, el cuadrado tiene cuatro, el rombo y el rectángulo dos. El triángulo equilátero tiene tres ejes, mientras que el escaleno no tiene ninguno y el isósceles solo uno.

Tipos de Simetría

c.3.1) Central:

También conocida como simetría respecto a un punto central. Puede manifestarse como una propiedad de una figura. Para que exista simetría central, al tomar cualquier punto de la figura, prolongarlo, se debe llegar a otro punto de la figura. Si cualquier punto de la figura se une con el centro y se prolonga una distancia igual a la que hay entre el punto y el centro, y esto nos lleva a otro punto de la figura, existe simetría central. También puede haber simetría central como un movimiento de la figura. Para realizar la simetría respecto a un punto, se prolonga perpendicularmente desde el punto dado y luego se prolonga la misma distancia al otro lado. Toda simetría central equivale a un giro de 180º.

Geometría Espacial

Poliedros

Un poliedro es una figura geométrica tridimensional formada por polígonos. No presenta líneas curvas. Sus componentes son:

• Aristas: Los lados de los polígonos.
• Caras: Los propios polígonos.
• Vértices: Puntos donde concurren tres o más aristas.
• Diagonales: Segmentos que unen vértices no adyacentes y pasan por el interior del poliedro.

Todos los poliedros convexos cumplen la relación de Euler: la suma de las caras y los vértices es igual a la suma de las aristas más 2.

a) Poliedros Regulares:

Están formados por polígonos regulares idénticos, y en cada vértice concurre el mismo número de aristas. Solo existen cinco poliedros regulares (tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro) debido a las restricciones angulares en su construcción.

b) Prismas:

Son poliedros con caras laterales rectangulares y bases que pueden ser cualquier tipo de polígono. Pueden ser rectos (caras laterales perpendiculares a las bases) u oblicuos.

b.2) Caso especial: Paralelepípedo:

Es un prisma cuyas bases son paralelogramos. También se puede definir como un prisma donde todas sus caras son paralelogramos. El paralelepípedo ortoedro (con bases cuadradas o rectangulares) permite ilustrar el teorema de Pitágoras en el espacio.

c) Pirámides:

Son poliedros con una sola base (que puede ser cualquier polígono) y caras laterales que son triángulos, generalmente isósceles.

Figuras de Revolución

Se obtienen al girar una figura geométrica plana alrededor de un eje.

2.1. Cilindro:

Se genera al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

2.2. Cono:

Se forma al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.

2.3. Esfera:

Se obtiene al girar una semicircunferencia alrededor de su diámetro.