Variables Aleatorias: Conceptos y Tipos (Discretas y Continuas)

Variables Aleatorias: Conceptos Fundamentales

En un experimento aleatorio, al asignar un valor numérico a cada suceso aleatorio elemental, se obtiene una variable aleatoria. Esta puede ser discreta o continua. Si el conjunto numérico resultante es el de los números enteros, la variable aleatoria es discreta. Si el conjunto numérico es el de los números reales, la variable aleatoria es continua.

Función de Probabilidad y de Distribución

Una función de probabilidad asigna a cada valor de la variable aleatoria la probabilidad correspondiente. Formalmente:

Definición: La función de probabilidad, f, se define como: f(x_i) = P(X = x_i)

Media o Esperanza de una Variable Aleatoria

Sea X una variable aleatoria discreta que toma los valores x₁, x₂, x₃, ..., x_n con función de probabilidad f.

Definición: La media o esperanza (o valor esperado) de X se define como:

E(X) = x₁f(x₁) + x₂f(x₂) + ... + x_nf(x_n)

Normalización o Tipificación de una Variable Aleatoria

Sea X una variable aleatoria con su media. La variable aleatoria X* normalizada (o tipificada) correspondiente a X se define por:

Se verifica que E(X*) = 0 y Var(X*) = 1.

Distribución Binomial

Consideremos un experimento con solo dos sucesos posibles: A y su contrario A^c. Sus probabilidades son P(A) = p y P(A^c) = q = 1 - p. El suceso A se considera el suceso favorable o "éxito", y su contrario, el "fracaso".

Si repetimos el experimento n veces y nos interesa el número de éxitos, la variable aleatoria X indicará estos éxitos y tomará los valores 0, 1, 2, ..., n. Esta es una distribución de probabilidad discreta llamada distribución binomial con parámetros n (número de repeticiones) y p (probabilidad del éxito). Se denota como B(n, p).

La probabilidad de obtener k éxitos es:

p(X = k) = p^kq^n-k

Varianza y Desviación Estándar (o Típica)

Al igual que en las variables estadísticas, la esperanza representa el "valor promedio" de X. La varianza mide la dispersión o el distanciamiento de X respecto a la media.

Definición: Sea X una variable discreta que toma los valores x₁, x₂, ..., x_n con función de probabilidad f. La varianza de X, denotada por var(X), se define como:

Variable Aleatoria Discreta

Si x es una variable aleatoria continua, puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo determinado.