Càlcul de Límits, Continuïtat i Asímptotes de Funcions

Límits Laterals

La relació entre els límits laterals i el límit en un punt a és:

• Si lim_x→a^- f(x) ≠ lim_x→a⁺ f(x) ⇒ No existeix lim_x→a f(x).
• Si lim_x→a^- f(x) = lim_x→a⁺ f(x) = L ⇒ lim_x→a f(x) = L.

Cal calcular límits laterals si:

• És una funció definida a trossos i s'estudia el límit en el punt de canvi.
• El límit resulta en una expressió del tipus k / 0 amb k ≠ 0 (per determinar si és +∞, -∞ o no existeix).

Indeterminacions

Indeterminació 0/0

Per resoldre indeterminacions del tipus 0/0, generalment cal factoritzar els polinomis del numerador i denominador i després simplificar els factors comuns.

Exemple:

lim_x→2 (2x - 4) / (x² - 4)

Si substituïm x = 2, obtenim: (2 · 2 - 4) / (2² - 4) = (4 - 4) / (4 - 4) = 0 / 0 (Indeterminació).

Factoritzem numerador i denominador:

lim_x→2 [2(x - 2)] / [(x + 2)(x - 2)]

Simplifiquem el factor (x - 2):

lim_x→2 2 / (x + 2)

Ara substituïm x = 2:

2 / (2 + 2) = 2 / 4 = 0.5

Indeterminació ∞ - ∞

Aquesta indeterminació sol aparèixer en operar amb fraccions algebraiques. Cal realitzar l'operació (resta) per obtenir una única fracció i resoldre la indeterminació resultant (sovint ∞/∞ o 0/0).

Asímptotes Horitzontals (AH)

Hi ha una asímptota horitzontal en y = k si el límit de la funció quan x tendeix a +∞ o -∞ és un nombre finit k:

lim_x→±∞ f(x) = k

Exemple:

lim_x→+∞ (2x² + 1) / (1x² - 3x)

Com que els graus del numerador i denominador són iguals (grau 2), el límit és el quocient dels coeficients principals:

Límit = 2 / 1 = 2

Per tant, hi ha una Asímptota Horitzontal en y = 2.

Asímptotes Verticals (AV)

Hi ha una asímptota vertical en x = c si el límit de la funció quan x tendeix a c (per l'esquerra, per la dreta o ambdós) és infinit (±∞).

lim_x→c⁺ f(x) = ±∞ o lim_x→c^- f(x) = ±∞

Normalment, els candidats a asímptotes verticals són els valors que anul·len el denominador d'una fracció.

Exemple:

f(x) = (2x + 1) / (x - 2)

El denominador s'anul·la quan x - 2 = 0, és a dir, x = 2. Calculem el límit:

lim_x→2 (2x + 1) / (x - 2) = (2 · 2 + 1) / (2 - 2) = 5 / 0 = ±∞

Per tant, hi ha una Asímptota Vertical en x = 2.

Continuïtat d'una Funció

Tipus de funcions i la seva continuïtat:

• Funcions polinòmiques: Són contínues en tot el conjunt dels nombres reals (ℝ). Ex: f(x) = 3x² - 2x - 4.
• Funcions exponencials: Són contínues en tot ℝ. Ex: f(x) = 2^{x + 1}.
• Funcions irracionals (arrels): Són contínues en el seu domini de definició. Ex: f(x) = √(x + 2) és contínua en [-2, +∞).
• Funcions racionals: Són contínues en tot ℝ excepte en aquells valors que anul·len el denominador. Ex: f(x) = (x + 2) / (3x - 5) és contínua en ℝ - {5/3}.

Tipus de Discontinuïtat

Si una funció no és contínua en un punt x = a, pot presentar diferents tipus de discontinuïtat:

• Discontinuïtat evitable: Els límits laterals en x = a existeixen, són finits i iguals (lim_x→a^- f(x) = lim_x→a⁺ f(x) = L), però aquest valor L no coincideix amb f(a) o bé f(a) no existeix.
• Discontinuïtat de salt finit: Els límits laterals en x = a existeixen i són finits, però diferents (lim_x→a^- f(x) ≠ lim_x→a⁺ f(x)). La magnitud del salt és la diferència entre els límits laterals.
• Discontinuïtat asimptòtica (o essencial / de salt infinit): Almenys un dels límits laterals en x = a és infinit (+∞ o -∞). Sovint coincideix amb una asímptota vertical.