Exercicis de Matemàtiques 3r Trimestre

3r Trimestre - Exercicis de Matemàtiques

1. Paral·lelisme i Perpendicularitat

a)

Vectors directors: V_r = (1, 1, 2) i V_s = (2, 3, -1). Com que V_r i V_s no són proporcionals, les rectes r i s no són paral·leles.

Producte escalar: V_r · V_s = 1·2 + 1·3 + 2·(-1) = 3 ≠ 0. Per tant, les rectes r i s no són perpendiculars.

b) Equació general: Ax + By + Cz + D = 0

El vector director V_r ha de passar pel punt P_r = (-5, 5, 3).

(x + 5)·(-7) - (y - 5)·(-5) + (z - 3)·1 = 0

-7x - 35 + 5y - 25 + z - 3 = 0

-7x + 5y + z - 63 = 0

Equació del pla: -7x + 5y + z = 63

Distància entre la recta s i el pla:

d(s, n) = d(P_s, n)

d = |-7·3 + 5·2 + (-1) - 63| / √(7² + 5² + 1²) = 75 / √75 = √75 = 5√3

2. Sistemes d'Equacions Lineals

a) Discussió segons els valors de m

Matriu del sistema:

(m, -1, m)

(3, m-4, m+2)

Determinant de la matriu: (m-1)(m-3)

Cas 1: Si m ≠ 1, 3, aleshores det(A) ≠ 0. Rang(A) = 2 = Rang(A'). Sistema Compatible Determinat (SCD).

Cas 2: Si m = 1, Rang(A) = Rang(A') = 1. Sistema Compatible Indeterminat (SCI).

Cas 3: Si m = 3, 3x - y = 3 i 3x - y = 5. Sistema Incompatible (SI).

b) Resolució

Cas 1: m ≠ 1, 3. Apliquem la regla de Cramer.

x = (m-2) / (m-3)

y = m / (m-3)

Cas 2: m = 1

x - y = 1. Els punts de solució són de la forma (x, x-1).

3. Càlcul de Solucions

a) Valors per a una solució única: X·A = B

det(A) = 2a - 7 = 0. Per tant, a = 7/2.

Si a ≠ 7/2, aleshores det(A) ≠ 0 i X = B·A^-1.

b) Solució per a a = 3

A = (1, -1, 1; 3, -3, 2; -1, 0, 1)

A^-1 = (3, -1, -1; 2, 0, -1; 3, -1, 0)

B = (-3, -5, -3)

X = B·A^-1 = (-31, 11, 5)

4. Potències de Matrius

a) A² i A³

A²: Tots els elements negatius excepte a₁₂ = √3/2 i a₂₁ = -√3/2.

A³ = A²·A = I₃ (Matriu Identitat)

b) A¹⁰¹

101 = 33·3 + 2. A¹⁰¹ = A^33·3+2 = (A³)³³·A² = (I₃)³³·A² = A²

5. Igualtat de Matrius

a) Comprovació de (A+B)(A-B) = A² - B²

(A+B)(A-B) = (8, 16; -8, -8)

A² - B² = (8, 16; -8, -8)

Són iguals.

b) Certesa de la igualtat

La igualtat no és certa en general, ja que (A+B)(A-B) = A² - AB + BA - B². Només si AB = BA (matrius que commuten), aleshores (A+B)(A-B) = A² - B².

6. Matrius Inverses

a) Comprovació de (A+I_n)² = 2A + I_n

(A + I_n)² = (A + I_n)·(A + I_n) = A² + A·I_n + I_n·A + I_n² = A² + 2A + I_n. Si A² = 0, aleshores (A+I_n)² = 2A+I_n.

b) Comprovació de B = I_n - A i C = A + I_n són inverses

BC = (I_n - A)·(A + I_n) = A + I_n - A² - A = I_n - A² = I_n (si A²=0)

CB = (A + I_n)·(I_n - A) = A - A² + I_n - A = I_n - A² = I_n (si A²=0)