Mate 2

3.ariketa.-

Enuntziatu Rolle-ren teorema. Frogatu grafikoki. Kalkulatu a, b eta c parametroak f(x) funtzioak Rolle-ren teoremaren hipotesiak bete ditzan [0,4] tartean. Non betetzen du tesia?

Ebazpena:

Enuntziatua:

Grafikoki:

Hipotesiak: Funtzioak jarraitua izan behar du [0,4] tartean, deribagarria (0,4) tartean eta f(0)=f(4) bete behar du.

Jarraitasuna [0, 4] tartean:

 x ¹ 2 bada,  funtzioa jarraitua da, bere adarrak (zuzena eta parabola) jarraituak baitira.

x=2-an jarraitua izateko, alboko limiteak eta funtzioak puntuan hartzen duen balioa berdinak izan behar dira:

Orduan, jarraitua izateko x=2-an hauxe gertatu behar da:

8 - 2a = 2b + c

Deribagarritasuna  (0, 4) tartean:

x ¹ 2 bada,  funtzioa deribagarria da, bere adarrak (zuzena eta parabola) deribagarriak baitira. Eta bere deribatua hauxe da:

x=2-an deribagarria izateko, jarraitua izan behar du x=2-an eta alboko deribatuak berdinak izan behar ditu. Eta horretarako:

Gainera, tartearen muturretan balio berdina hartu behar du funtzioak: f (0) = f (4) ;  hau da:

0 = 4b + c

Hiru baldintzak sistema batean bilduz

Rolle-ren teoremaren hipotesiak betetzeko, a=6, b=2 eta c= - 8 izan behar dute. Eta funtzioa honako hau:

Zer dio tesiak? Badagoela c Î (0, 4)  non f  ' (c) = 0 den.

Orduan, tesia  puntuan betetzen da.