Nombres Enters i Racionals: Guia per a Primària

Explicació de la Multiplicació amb Nombres Enters

1. Exemple pràctic a l'aula de Primària amb (-2)·(-3):

Per contextualitzar el concepte, utilitzarem una situació problemàtica com la de l'ascensor:

"Un ascensor es troba a la planta baixa. Si baixa 2 pisos per minut, en quin pis es trobava fa 3 minuts?"

Ens situem al 0 (punt de partida). Multipliquem els pisos per minut (velocitat) pel temps. Com que baixa (velocitat negativa) i parlem d'un temps passat (temps negatiu), els dos factors són negatius. El resultat serà positiu, indicant que l'ascensor estava *per sobre* de la planta baixa.

Operació: (-2) · (-3) = +6

Resultat: L'ascensor es trobava al 6è pis.

Operacions amb Parells de Punts (Nombres Enters)

2. Siguin (2,6) i (9,4) dos parells de punts que representen dos nombres enters:

a. Suma:

[(2,6)] + [(9,4)] = [(2+9, 6+4)] = [(11,10)]

Com que [(2,6)] = -4; [(9,4)] = +5 i [(11,10)] = +1, llavors: (-4) + (+5) = (+1)

b. Multiplicació:

[(2,6)] · [(9,4)] = [(2·9 + 6·4, 2·4 + 6·9)] = [(18+24, 8+54)] = [(42,62)] = -20

Com que [(2,6)] = -4; [(9,4)] = +5 i [(42,62)] = -20, llavors: (-4) · (+5) = (-20)

Dificultats Freqüents amb Nombres Enters

3. Dificultats més freqüents a l'aula de Primària:

• Preconceptes: En el llenguatge quotidià, diem "Tinc 50 euros" o "Dec 50 euros", però no "Tinc +50 euros" o "Tinc -50 euros".
• Addició com a augment: Considerar l'addició *sempre* com un augment dificulta trobar el nombre que sumat a +9 doni +4.
• Subtracció com a disminució: Similarment, trobar un nombre que restat a +4 resulti +9 és un obstacle.
• Ordre: L'ordre dels nombres enters negatius és diferent de l'ordre dels nombres naturals.
• Ruptura amb la idea de quantitat: El nombre enter requereix trencar amb la idea del nombre només com a quantitat existent.

Conversió de Simbologia a Nombre Enter

4. Conversió d'un parell de nombres naturals a un nombre enter:

Per a qualsevol (a,b) ∈ NxN, el nombre enter 'm' corresponent a la classe d'equivalència de (a,b), m=[(a,b)], es representa com:

• m = 0, si a = b
• m = +(a-b), si a > b
• m = -(b-a), si b > a

Exemples:

• 0 = [(0,0)]; [(1,1)]; [(2,2)]...
• +2 = [(2,0)]; [(3,1)]; [(4,2)]...
• -3 = [(0,3)]; [(1,4)]; [(2,5)]...

Multiplicació amb Nombres Racionals

5. Definició formal de la multiplicació amb nombres racionals:

( . ) : Q x Q → Q

Propietats:

• Associativa
• Commutativa
• Element neutre
• Element simètric (per a cada nombre racional diferent de zero)

Estructura:

• (Q, ·) té estructura de semigrup abelià amb element neutre.
• (Q, +, ·) és un cos commutatiu.

Conseqüències de la Definició de Nombre Racional

6. Conseqüències immediates:

1. a/b és equivalent a a·z/b·z, ∀z ∈ Z*.
2. Es pot representar un nombre racional per qualsevol fracció de la seva classe d'equivalència.
3. Donades diferents fraccions, sempre podem trobar fraccions equivalents amb el mateix denominador (utilitzant el m.c.m. dels denominadors).
4. En qualsevol classe d'equivalència, existeix una fracció irreductible (termes primers entre si), que s'obté dividint numerador i denominador pel m.c.d.
5. ∀a∈Z*: 0/a = 0, a/a = 1.