Problemes de Distribució Normal Resolts: Captura de Tonyines, Focus i Temps

Distribució de Captura de Tonyines

La distribució de tonyines capturades pels vaixells en una zona específica segueix una distribució normal amb una mitjana (μ) de 110. Se sap que la probabilitat de capturar més de 125 tonyines és 0,1587.

a) Càlcul de la Desviació Típica

N(110, σ)

P(X > 125) = 0,1587

P(Z > (125-110)/σ) = 0,1587

P(Z < (125-110)/σ) = 1 - 0,1587 = 0,8413

Consultant la taula de la distribució normal estàndard, trobem que (125-110)/σ ≈ 1, d'on obtenim que σ ≈ 15.

Per tant, la desviació típica (σ) és aproximadament 15.

b) Percentatge de Vaixells amb Mala Campanya

Es considera que la campanya és bona si es capturen més de 100 tonyines.

P(X ≤ 100) = P(Z ≤ (100-110)/15) = P(Z ≤ -0,67)

P(Z ≤ -0,67) = 1 - P(Z ≤ 0,67) = 1 - 0,7486 = 0,2514

Aproximadament el 25,14% dels vaixells no tindran una bona campanya.

c) Percentil 90

Volem trobar el valor de X tal que P(X ≤ x) = 0,90.

Utilitzant la puntuació Z corresponent a P = 0,90, que és Z = 1,28:

X = 1,28 * 15 + 110 = 129,2

Per estar en el percentil 90, un vaixell ha de capturar aproximadament 129 tonyines.

Il·luminació de l'Estadi

El temps de vida dels focus segueix una distribució normal amb una mitjana (μ) de 1500 h i una desviació típica (σ) de 200 h.

a) Probabilitat de Funcionament

P(X ≥ 1000) = P(Z ≥ (1000-1500)/200) = P(Z ≥ -2,5)

P(Z ≥ -2,5) = 1 - P(Z ≤ -2,5) ≈ 1 - 0,0062 = 0,9938

La probabilitat que un focus funcioni almenys 1000 hores és aproximadament 0,9938 o 99,38%.

b) Focus Esperats

Si es compren 2000 focus, s'espera que 2000 * 0,9938 = 1987,6 ≈ 1988 focus il·luminin almenys 1000 hores.

Examen d'Ingrés

Per aprovar un examen d'ingrés, es necessiten 50 punts o més. La distribució de punts és normal, amb una mitjana (μ) de 55 punts i una desviació típica (σ) de 10.

a) Probabilitat d'Aprovar

N(55, 10)

P(X ≥ 50) = P(Z ≥ (50-55)/10) = P(Z ≥ -0,5)

P(Z ≥ -0,5) = P(Z ≤ 0,5) = 0,6915

La probabilitat que un alumne aprovi és 0,6915 o 69,15%.

b) Alumnes Esperats

Si es presenten 400 alumnes, s'espera que 0,6915 * 400 = 276,6 ≈ 277 alumnes ingressin.

Temperatures al Juliol

Les temperatures màximes diàries al juliol segueixen una distribució normal amb una mitjana (μ) de 26°C i una desviació típica (σ) de 4°C.

Dies amb Temperatura Entre 22°C i 28°C

N(26, 4)

P(22 ≤ X ≤ 28) = P((22-26)/4 ≤ Z ≤ (28-26)/4) = P(-1 ≤ Z ≤ 0,5)

P(-1 ≤ Z ≤ 0,5) = P(Z ≤ 0,5) - P(Z ≤ -1) = P(Z ≤ 0,5) - (1 - P(Z ≤ 1)) = 0,6915 - (1 - 0,8413) = 0,5328

En un mes de 31 dies, s'espera que 31 * 0,5328 = 16,5168 ≈ 17 dies tinguin una temperatura entre 22°C i 28°C.

Temps d'Arribada a Classe

El temps d'arribada a classe segueix una distribució normal amb una mitjana (μ) de 20 minuts. El 94,5% dels dies trigues menys de 28 minuts.

• Càlcul de la desviació típica (σ): 20 + 1.645σ = 28 => σ ≈ 4.86 minuts.
• Probabilitat de trigar menys de 15 minuts: Z = (15 - 20) / 4.86 ≈ -1.03 => P(Z < -1.03) ≈ 0.1515 o 15.15%.
• Dies estimats amb menys de 15 minuts (en 177 dies): 177 * 0.1515 ≈ 26.82 => Aproximadament 27 dies.