Vectors, Rectes i Plans: Guia Completa i Fórmules

Vectors: Conceptes i Operacions

Vectors: Punts A i B (dos punts).

Components d'un vector AB^→: B - A = (x, y, z).

Mòdul d'un vector: |AB^→| = √(x² + y² + z²).

Operacions amb vectors: Si tenim U^→ i V^→, podem fer operacions com 2U^→ - 3V^→.

Punt mitjà d'un segment AB^→: M = (A + B) / 2.

Divisió d'un segment en parts: Dividir AB^→ pel nombre de parts desitjades. Després, a A se li sumen les parts necessàries per arribar al punt desitjat.

Dependència i Independència Lineal

Vectors linealment dependents i independents:

• 2 vectors (ex: U^→ i V^→): Si U₁/V₁ = U₂/V₂ = U₃/V₃, són linealment dependents i paral·lels. Si no són equivalents, són linealment independents.
• 3 vectors (ex: U^→, V^→ i W^→): Si el determinant de la matriu 3x3 formada pels vectors és igual a 0, són dependents. Si és diferent de 0, són independents.

Combinació Lineal de Vectors

Combinació lineal de vectors: X^→ = a · U^→ + b · V^→ + c · W^→

Exemple:

(1, 3, 0) = a · (2, -1, 3) + b · (4, 1, 2) + c · (1, 0, 0)

Això resulta en el següent sistema d'equacions:

• 2a + 4b + c = 1
• -a + b = 3 (b = 3 + a)
• 3a + 2b = 0

Resolent el sistema, trobem els valors de a, b i c (en aquest exemple, a = -6/5).

Producte Escalar i Vectorial

Producte escalar: Multiplicació de dos vectors: U^→ · V^→ = U₁ · V₁ + U₂ · V₂ + U₃ · V₃ = un nombre (per exemple, 8).

Angle entre dos vectors: cos α = (U^→ · V^→) / (|U^→| · |V^→|).

Vector unitari: V^→ / |V^→|. Si el mòdul ha de ser 5, es multiplica el vector unitari per 5.

Vector perpendicular: Perquè dos vectors siguin perpendiculars, U^→ · V^→ = 0. Si tenim un vector, podem trobar un vector perpendicular canviant un dels components per 0 i canviant el lloc i el signe d'un altre. Exemple: (1, -3, 2) → (0, 2, 3).

Producte vectorial:

El resultat és un vector perpendicular als dos vectors originals. Es calcula amb el determinant:

| i    j    k  |
| U1 U2 U3 |
| V1 V2 V3 |

Exemple: (-1, -1, 2) = i, j, k.

Nota: Quan es fa servir "·" es refereix a multiplicació, i "x" es refereix al càlcul d'un determinant.

Àrees i Volums

Àrea d'un Paral·lelogram i d'un Triangle

Àrea d'un paral·lelogram: |AB^→ x AD^→| (producte vectorial). Es calcula el determinant amb els vectors AB^→ i AD^→ (obtinguts fent B - A i D - A).

Exemple:

Paral·lelogram ABCD amb punts A(2, 0, 1), B(-1, 1, 0), C(0, 0, 2), D(1, 0, 1). Només necessitem tres punts.

AB^→ = B - A = (-3, 1, -1), AD^→ = D - A = (-1, 0, 0).

| i    j    k  |
| -3   1   -1 |
| -1   0    0  |

El resultat és (0, 1, 1). L'àrea és √(0² + 1² + 1²) = √2.

Àrea d'un triangle: |AB^→ x AC^→| / 2. És el mateix que l'àrea del paral·lelogram, però utilitzant només tres punts (A, B, C) i dividint el resultat per 2.

Nota: Si en lloc de punts ens donen directament els vectors, ens podem saltar el pas de calcular-los (A - B, etc.).

Producte Mixt, Punts Coplanaris, Volums

Producte mixt: Es calcula amb tres vectors (U^→, V^→, W^→) fent el determinant de la matriu 3x3 que formen. El resultat és el producte mixt.

Punts coplanaris: Quatre punts (A, B, C, D) són coplanaris si el determinant |AB^→ x AC^→ x AD^→| = 0.

Volum d'un paral·lelepípede: Es calcula amb el valor absolut del producte mixt dels tres vectors que el defineixen (o amb els punts, passant-los a vectors).

Volum d'un tetraedre: És el mateix que el volum del paral·lelepípede, però dividit per 6: |AB^→ x AC^→ x AD^→| / 6.

Rectes

Una recta pot ser determinada per un punt i un vector director, o per dos punts. Hi ha diferents equacions per representar-les.

Exemple: Equacions de la recta que passa pels punts A(6, 3, -1) i B(2, 1, -1).

• Equació vectorial: (x, y, z) = (2, 1, -1) + λ · (-4, -2, 0). El primer terme és el punt B, i el que multiplica λ és el vector AB^→.
• Equació paramètrica:
  • x = 2 - 4λ (x = B_x + AB_x)
  • y = 1 - 2λ (y = B_y + AB_y)
  • z = -1 + 0λ (z = B_z + AB_z)
• Equació contínua: λ = (x - 2)/-4 = (y - 1)/-2 = (z + 1)/0 → (x - x_B) / V₁ = (y - y_B) / V₂ = (z - z_B) / V₃.
• Equació general/implícita/cartesiana: S'agafa l'equació contínua i es fan dues igualacions a 0. Per exemple, una equació pot ser X = Y, i l'altra Y = Z:
  • (x - 2)/-4 = (y - 1)/-2 → -2x + 4y = 0
  • (y - 1)/-2 = (z + 1)/0 → 2z + 2 = 0
  Es presenten les dues equacions.

Vector Director i Conversió d'Equacions

Vector director: Es pot trobar amb el producte vectorial dels vectors normals de les dues equacions implícites que defineixen la recta.

Passar d'equació implícita a equació vectorial (exemple amb l'equació anterior):

| i    j    k  |
| -2   4    0  |
| 0    0   -2  |

El resultat és (-8, -4, 0), que és el vector director. Per trobar un punt, fem x = 0, i resolem el sistema per trobar un punt de la recta. Després, escrivim l'equació vectorial.

Plans

Un pla pot ser determinat per: 1 punt i dos vectors directors linealment independents, o 3 punts no alineats. Exemples:

• Equació vectorial: (x, y, z) = (-1, 1, 2) + λ(2, 0, 1) + μ(-1, 1, 3).
• Equació paramètrica:
  • x = -1 + 2λ - μ (x = B_x + U_x + V_x)
  • y = 1 + μ (y = B_y + U_y + V_y)
  • z = 2 + λ + 3μ (z = B_z + U_z + V_z)
• Equació general: Es calcula amb el determinant:

  | X - Xo   Y - Yo   Z - Zo |
  | U1         U2         U3       |
  | V1         V2         V3       |
  

  = Ax + By + Cz + D = 0

Conversió i Vector Normal

Passar d'equació general d'un pla a equació paramètrica:

Exemple: -x - y + 2z + z = 0. Si y = λ i z = μ, aïllem x: x = 3λ/2 + μ/2 -4/2; y = λ; z = μ.

Vector normal del pla (π):

Si tenim el pla π: 3x - 2y + z - 3 = 0, el vector normal és n = (3, -2, 1). Les coordenades del vector normal (A, B, C) corresponen als coeficients de x, y, z a l'equació general del pla.

Per trobar un vector director (V^→), podem trobar dos punts del pla (per exemple, fent x = y = 0 per trobar A, i y = z = 0 per trobar B) i calcular AB^→ = B - A.

Equació General amb Punt i Vector Normal

Trobar l'equació general amb un punt i el vector normal:

Si tenim n = (1, -3, 5) i un punt A(1, 0, -3), creem un punt genèric B(x, y, z). Calculem AB^→ = B - A i fem el producte escalar AB^→ · n = 0.

(1, -3, 5) · (x - 1, y, z + 3) = 0 → x - 1 - 3y + 5z + 14 = 0 → Equació general: x - 3y + 5z + 14 = 0.

Pertinença i Posició Relativa

Saber si un punt pertany a una recta o a un pla, i si tres punts estan alineats:

• Recta: Substituïm les coordenades del punt (x, y, z) a l'equació general o contínua de la recta. Si la igualtat es compleix, el punt pertany a la recta.
• Pla: Substituïm les coordenades del punt (x, y, z) a l'equació general del pla. Si el resultat és 0, el punt pertany al pla.
• 3 punts alineats: Podem trobar l'equació contínua de la recta que passa per dos dels punts i comprovar si el tercer punt hi pertany (com s'ha explicat anteriorment). També podem comprovar si els vectors formats pels punts són proporcionals: X_AB / X_BC = Y_AB / Y_BC = Z_AB / Z_BC.

Posició relativa de recta i pla:

1. Paral·lels.
2. Continguda (la recta està dins del pla).
3. Secants (es tallen en un punt).