Reglas de exponentes

Reglas de Exponentes para la multiplicación de polinomios

Regla #1: Regla del Exponente 1

Si a es un número real entonces a = a¹.

            “Esta regla establece que cuando una variable no tiene exponente, entonces su exponente es uno (1).”

Ejemplos:

• 5¹ = 5

• (-6)¹ = -6

• (3a³ b⁴)¹ =  3a³ b⁴ 

Regla #2: Multiplicación de Potencias

Si a es cualquier número real y m, n son enteros positivos, entonces

a ⁿ · a ^m = a ^{n + m}

“Esto significa que cuando multiplicamos bases iguales los exponentes se suman.”

Ejemplos:

• x⁷· x⁸= x⁷⁺⁸ = x¹⁵      

• y⁴ · y⁶ = y⁴⁺⁶ = y¹⁰ 

3)

4) (-4)² · (-4) = (-4)²⁺¹   = (-4)³

Regla #3: Potencia de una Potencia

Si a es un número real y m, n son enteros positivos entonces

(aⁿ)^m  = a^{n · m}

Ejemplos:

• (a³)⁵  = a^{3 · 5} = a¹⁵    

• (p⁴)⁶ = p^{4 · 6} = p²⁴

Regla #4: Potencia de un Producto

Si a, b son números reales y n es un entero positive, entonces       

                        (ab)ⁿ = aⁿ bⁿ .   

Ejemplos:

• (ab)⁴ = a^{(1 · 4)} b^{(1 · 4)} = a⁴ b⁴

• (3m)⁴ = 3^{(1 · 4)} m^{(1 · 4)} = 3⁴m⁴ = 81m⁴ 

• (-2p³q⁵)²  = (-2)²p^{(3 · 2)}q^{(5 · 2)} = 4 p⁶q¹⁰

Multiplicación de un Monomio Por otro Monomio

Para multiplicar monomios, hallamos el producto de los coeficientes. Luego aplicamos las reglas de los exponentes para la multiplicación de bases iguales.

Recuerda las reglas de signos en la multiplicación y división:

            (Positivo) (Positivo) = Positivo                              Signos iguales es Positivos

            (Negativo) (Negativo) = Positivo

            (Positivo) (Negativo) = Negativo                           Signos diferentes es Negativos

            (Negativo) (Positivo) = Negativo

Ejemplos:

• (5x⁵y²) (-4x³y⁷) = (5)(-4) x^{(5 + 3)} y^{(2 + 7)}

 = -20x⁸y⁹

• (4m⁶n⁵t²) (-2m²n³t⁴) (3mn⁷t⁸) = (4)(-2)(3) m^{(6 + 2 + 1)} n^{(5 + 3 + 7)} t^{(2 + 4 + 8)}

   = -24 m⁹n¹⁵t¹⁴

• (12a⁶b²) (-4a⁵b⁴) (-b³) = (12)(-4)(-1) a^{(6 + 5)}b^{(2 + 4 + 3)} 

   = 48 a¹¹b⁹

Práctica:

Página 172; 1 al 50 impares

Monomio Por otro Tipo de Polinomio

Para multiplicar un monomio por otro tipo de polinomio se utiliza la propiedad distributiva y las leyes de exponentes.

Propiedad Distributiva: a(b + c) = ab + ac

Ejemplos:

• -7(2t + 5) = (-7)(2t) + (-7)(5) = -14t – 35

• y⁶(7y² + 2y – 6) = y⁶(7y²) + y⁶(2y) + y⁶(-6) = 7y⁸ + 2y⁷ – 6y⁶

• 9 m⁴ (-4m² + 2m – 8) = 9m⁴(-4m²) + 9m⁴(2m) + 9m⁴(-8) = -36m⁶ + 18m⁵ – 72m⁴

4) 3x³y²z(-12x⁴y⁸z² + 7x⁹y z⁵) = 3x³y²z(-12x⁴y⁸z²) + 3x³y²z (7x⁹yz⁵)=

                                                          = -36x⁷y¹⁰z³ + 21x¹²y³z⁶

Práctica:

Página 179;  1 al 8

Binomio por Binomio

Para multiplicar un binomio por otro binomio también utilizamos la propiedad distributiva.

Nota: Recuerde siempre sumar los términos semejantes.

Ejemplos:

• (x + 3) (x + 7) = (x)(x) +(x)(7) +(3)(X) + (3)(7)

 = x² + 7x + 3x + 21

 = x² + 10x + 21

• (3y + 7) (4y – 9) = (3y)(4y) + (3y)(-9y) + (7)(4y) + (7)(-9)

     = 12y²– 27y + 28y – 63

     = 12y² + y – 63

• (x + 5)²  = (x + 5)(x + 5) = (x)(x) + (x)(5) + (5)(x) + 25

      = x² + 5x + 5x + 25

      = x² + 10x + 25

Pasos para obtener el cuadrado de un binomio:

• Elevamos el primer término al cuadrado.

• Multiplicamos los términos del binomio y luego lo multiplicamos por 2.

• Elevamos el segundo término al cuadrado.

Ejemplos:

• (x + y)²  = x² + 2xy + y²

• (x – y)² =   x² – 2xy + y²

Nota: Podemos observar que la diferencia de estos dos ejemplos es el signo del medio.

• (x – 6)²  = x² – 12x + 36

• (4p + 3)² = 16p² + 24p + 9

Practica: Efectúe las siguientes operaciones.

• (y + 4)² =
• (2 – x)² =
• (2p + 1)² =
• (7x + 3y)² =
• (-3y + 5)² =
• (6a – 4)² =
• (9a + b)² =
• (6b – 7c)² =
• (p – 10)² =
•  (5w + 7)² =

Desarrollo  de un Binomio al Cubo

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Ejemplo:

• (x + 3)³ =

=  (x)³ + 3 (x)² (3) + 3(x)(3)² + (3)(3) 

=  x³ + 9x² +27x + 9

• (5t - 2)³ =

= (5t)³ + 3(5t)²(-2) + 3(5t)(-2)² + (-2)³ 

= 125t³ - 150t² + 60id23t - 8

Práctica: Desarrolle los siguientes Binomios al Cubo.

• (4 + w)³ =
• (7a + 2)³ =
• (h - g)³ =
• (8 + 3d)³ =
• (6y + x)³ =
• (4p - 9)³ =
• (5t - 4k)³ =
• (9 + 5g)³ =
• (8w  - 3z)³ =
• (2n - 6m)³ =

Polinomio Por Polinomio

Para multiplicar un polinomio por otro polinomio utilizamos la propiedad distributiva. Es decir multiplicamos cada término de uno de los polinomios por todos los términos del otro y sumamos los términos semejantes.

Ejemplos:

• (2y + 5)(y² + 4y – 7)       = 2y³ + 8y² – 14y + 5y² + 20y – 35 

= 2y³ + (8y² + 5y²⁾ + (-14y + 20y)  – 35

= 2y³ + 13y² + 6y – 35

• (7y – 6)(5y² + 8y – 3)    = 35y³ + 56y² – 21y – 30y² – 48y + 18 

= 35y³ + (56y² – 30y²⁾ + (-21y – 48y)  + 18

=35y³ + 26y² – 69y + 18

Práctica; 

Página 179; 53 al 64 impares